第二部分（非选择题 共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
2．本部分共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．(x?1)9的展开式中x3的系数是_________．（用数字作答）
答案：84
63?C9?84． 解析：∵(x?1)9的展开式中x3的系数是C9x2y214．双曲线?那么P到左准线的距离是____． ?1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，
6436答案：16 答案：16
54516解析：离心率e?，设P到右准线的距离是d，则?，则d?，则
4d452?6416P到左准线的距离等于??16．
10515．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表
面积与该圆柱的侧面积之差是_________． 答案：32π
解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积
?S?2??4sin??2?4cos?＝32?sin2?，当??时，S取最大值32?，此时球的表面积与
4该圆柱的侧面积之差为32?．
16．函数f(x)的定义域为A，若x1,x2?A且f(x1)?f(x2)时总有x1?x2，则称f(x)为单函
数．例如，函数f(x)=2x+1(x?R)是单函数．下列命题：
①函数f(x)?x2（x?R）是单函数；
②指数函数f(x)?2x（x?R）是单函数；
③若f(x)为单函数，x1,x2?A且x1?x2，则f(x1)?f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④
解析：对于①，若f(x1)?f(x2)，则x1??x2，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一
11次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还
42
11、；两人租车时间都不会超过四小时． 24（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则
111111P(A)?1???，P(A)?1???．
42424411答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．
44（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则
1111111111113P(C)?(?)?(???)?(?????)?．
42442224424443答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为
418．（本小题共l2分）
7?3?已知函数f(x)?sin(x?)?cos(x?)，x?R．
44（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最小值；
44?（Ⅱ）已知cos(???)?，cos(???)??，0?????．求证：[f(?)]2?2?0．
552本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．
7?7?3?3?（Ⅰ）解析：f(x)?sinxcos ?cosxsin?cosxcos?sinxsin4444车的概率分别为
?2sinx?2cosx?2sin(x?)，∴f(x)的最小正周期T?2?，最小值f(x)min??2． 444（Ⅱ）证明：由已知得cos?cos??sin?sin??，cos?cos??sin?sin???
55?两式相加得2cos?cos??0，∵0?????∴[f(?)]2?2?4sin2?2，∴cos??0，则???2．
?4?2?0．
19．（本小题共l2分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；
本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一：
（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，
∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O， ∴OD∥PB1，又OD?面BDA1，PB1?面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1．
（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，
∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1． ∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角． 15在Rt△A1C1D中，A1D?()2?12?，
22又S?AA1D?11525?1?1???AE，∴AE?． 2225在Rt△BAE中，BE?(252235AH2，∴cos?AHB?)?1??．
55BH3故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为
2． 3解法二：
如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．
11（Ⅰ）在△PAA1中有C1D?AA1，即D(0,1,)．
22?????????????∴A1B?(1,0,1)，A1D?(0,1,x)，B1P?(?1,2,0)． 设平面BA1D的一个法向量为n1?(a,b,c)，
?????n1?A1B?a?c?0,?1c??1?则?????令，则n?(1,,?1)． 112n?AD?b?c?0.?11?2????1∵n1?B1P?1?(?1)??2?(?1)?0?0，
2∴PB1∥平面BA1D，
1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量n1?(1,,?1)．
2n?n12?． 又n2?(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量．∴cos?n1,n2??12?|n1|?|n2|1?3322故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．
320．（本小题共12分）
已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和． （Ⅰ）当S1、S3、S4成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当Sm、Sn、Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am?k、an?k、al?k也成等差数列．
本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）由已知，an?aqn?1，因此S1?a，S3?a(1?q?q2)，S4?a(1?q?q2?q3)．
当S1、S3、S4成等差数列时，S1?S4?2S3，可得aq3?aq?aq2．
1?5． 2（Ⅱ）若q?1，则{an}的每项an?a，此时am?k、an?k、al?k显然成等差数列．
化简得q2?q?1?0．解得q?若q?1，由Sm、Sn、Sl成等差数列可得Sm?Sl?2Sn，即a(mq?1)?q?1
al(?q?q?1n1)a?2q(． ?q11)
整理得qm?ql?2qn．因此，am?k?al?k?aqk?1(qm?ql)?2aqn?k?1?2an?k． 所以，am?k、an?k、al?k也成等差数列． 21．（本小题共l2分）
3x2y2过点C(0，1)的椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a,0)、
2abA(?a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
????????（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OP?OQ为定值．
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
c3x2解：（Ⅰ）由已知得b?1,?，解得a?2，所以椭圆方程为?y2?1．
a243x?1，代入椭圆方程得 椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为 y??37x2?83x?0，解得x1?0,x2?831，代入直线l的方程得 y1?1,y2??，所以77D(831,?)， 77故|CD|?(83116． ?0)2?(??1)2?777（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符．
1设直线l的方程为y?kx?1(k?0且k?)．代入椭圆方程得(4k2?1)x2?8kx?0．
21?4k2?8k解得x1?0,x2?2，代入直线l的方程得y1?1,y2?2，
4k?14k?1?8k1?4k2所以D点的坐标为(2,)．
4k?14k2?1?x??4k,x1?2k又直线AC的方程为?y?1，又直线BD的方程为y?联立得? (x?2)，
y?2k?1.22?4k?1因此Q(?4k,2k?1)，又P(?,0)．
k????????1所以OP?OQ?(?,0)(?4k,2k?1)?4．
k????????故OP?OQ为定值． 22．（本小题共l4分）
21已知函数f(x)?x?，h(x)?x．
32（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
33（Ⅱ）设a?R，解关于x的方程lg[f(x?1)?]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x)；
241（Ⅲ）设n?N*，证明：f(n)h(n)?[h(1)?h(2)???h(n)]?．
6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）F(x)?18f(x)?x2[h(x)]2??x3?12x?9(x?0)，
?F?(x)??3x2?12．
令?F?(x)?0，得x?2（x??2舍去）．
当x?(0,2)时．F?(x)?0；当x?(2,??)时，F?(x)?0，
故当x?[0,2)时，F(x)为增函数；当x?[2,??)时，F(x)为减函数． x?2为F(x)的极大值点，且F(2)??8?24?9?25．
33（Ⅱ）方法一：原方程可化为log4[f(x?1)?]?log2h(a?x)?log2h(4?x)，
24a?x?x?a,即为log4(x?1)?log2a?x?log24?x?log2，且?
1?x?4,4?x?①当1?a?4时，1?x?a，则x?1?a?x，即x2?6x?a?4?0， 4?x6?20?4a?3?5?a，∵1?x?a， ??36?4(a?4)?20?4a?0，此时x?2此时方程仅有一解x?3?5?a． ②当a?4时，1?x?4??36?4(a?4)?20?4a，
，由
x?1?a?x，得4?xx2?6x?a4?0?，
若4?a?5，则??0，方程有两解x?3?5?a；
若a?5时，则??0，方程有一解x?3； 若a?1或a?5，原方程无解．
方法二：原方程可化为log4(x?1)?log2h(4?x)?log2h(a?x)， 1即log2(x?1)?log24?x?log22?x?1?0,?1?x?4?4?x?0,?? ??x?a,a?x，??a?x?0,??2a??(x?3)?5.??(x?1)(4?x)?a?x.?①当1?a?4时，原方程有一解x?3?5?a； ②当4?a?5时，原方程有二解x?3?5?a； ③当a?5时，原方程有一解x?3；
④当a?1或a?5时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得h(1)?h(2)???h(n)]?1?2???n，
14n?31f(n)h(n)??n?．
6661设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?f(n)h(n)?（n?N*）
64k?34k?1从而有a1?S1?1，当2?k?100时，ak?Sk?Sk?1?k?k?1．
661(4k?3)2k?(4k?1)2(k?1)1又ak?k?[(4k?3)k?(4k?1)k?1]??
6(4k?3)k?(4k?1)k?16?11??0． 6(4k?3)k?(4k?1)k?1即对任意k?2时，有ak?k，又因为a1?1?1，所以
a1?a2???an?1?2???n．
则Sn?h(1)?h(2)???h(n)，故原不等式成立．