2013—2014学年度第一学期期末教学质量检查
高二理科数学（A卷）
考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器. 参考公式：记一元二次方程 ax?bx?c?0的两个根为：x1,x2，则有x1?x2??2bc；x1?x2?. aa一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请
用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1.抛物线y?x的准线方程是
21111 B.x?? C. y? D. y?? 444422.不等式x?x?2?0的解集是
A.x?A.{x|x??1或x?2} B.?x|?1?x?2? C.?x|?2?x?1? D.{x|x??2或x?1} 3.命题“有些对数函数是增函数”的否定为
A.有些对数函数不是增函数 B.所有的对数函数都不是增函数 C.对数函数不都是增函数 D.所有的对数函数都是增函数
4.十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列的一个递推公式是Fn??A．8
B．13
C．21
?1,n?1,2; 由此可计算出F8?
F?F,n?3.?n?1n?2D．34
5. 在?ABC中，A?B是sinA?sinB的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 在?ABC中，若a?b?3bc，sinC?23sinB，则A? A.30 B. 60 C. 120 D. 150
????2232?最小值为 ab25 A.8 B.24 C.25 D.
32a3b7. 设a?0,b?0，若33是3与3的等比中项，则
x2y2x2y28.已知椭圆2?2?1(a?b?0)和双曲线2?2?1有相同的焦点，它们的离心率分别为e1,e2，则
2abab2e12?e2的值为
A．
?39 B． C． D. 不确定 ?241
???????9.已知a,b分别是直线m,l的方向向量，n1,n2分别是平面?,?的一个法向量.给出下列命题: ?????①若l??,m//?,则a?b； ②若m//l,l??则a?n1；
??????? ③若???,m??,l??则a?b； ④若m?l,m??,l??，则n1?n2.
其中正确的命题有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
?x?0?(n?N*)内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）的个数为an，则10. 已知区域Dn:?y?0?y??2nx?6n?9999?????? a1a2a2a3a8a9a9a10A.
102012 B. C. D.
217721二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把 答案填在答题卡中相应的位置上．）
11．已知a?(2,?1,3),b?(?4,1,x)，且a?b，则x? ▲ ．
?0?x?4?2212．在约束条件?0?y?4下，目标函数z?(x?2)?(y?1)的取值范围是 ▲ ．
?x?y?2?13. 已知数列?an?的前n项和为Sn?4n?n?2,则数列?an?的通项公式为 ▲ ．
214.在圆x?y?4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动（但又不在x轴上）时，线段PD的中点M的轨迹方程是 ▲ ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）
已知命题p：关于x的方程x?mx?1?0有两个不相等的实根；命题q：函数
222f(x)?4x2?4(m?2)x?1的最小值大于0.若p?q为真命题且p?q为假命题，求实数m的取值
范围.
2
16.（本小题满分12分）
在?ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边. （1）若?ABC的面积S?1,b?2,A?135?,求a、c的值； 2（2）若a?bcosC，且b?2csinA，试判断?ABC的形状．
17.（本小题满分14分）
已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且
PA?AD?DC?1AB?1，M是线段PB上一点 2P
M
B
C
（第17题图）
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）若M是PB的中点，求点M到平面PCD的距离；
310（3）若直线MC与面PCD所成角的余弦值为，
10试确定点M的位置.
18.（本小题满分14分）
A D
厚街鞋城某品牌皮鞋拟在2014年的一些节假日举行促销活动，经调查测算，该品牌皮鞋的年销售量（即该皮鞋厂的年产量）m万双与年促销费用x万元(x?0)满足：(4?m)(x?1)?k（k为常数）.如果不搞促销活动，则该品牌皮鞋的年销售量是1万双.已知2014年生产该品牌皮鞋的固定投入为20万元，每生产1万双该品牌皮鞋需要再投入32万元，厂家将每双皮鞋的销售价格定为每双皮鞋平均生产成本的2.5倍（皮鞋生产成本即为：固定成本和再投入两部分资金，但不包括促销费）. （1）将2014年该品牌皮鞋的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； （2）该皮鞋厂2014年投入促销费用多少万元时，皮鞋厂的利润最大？
3
19.（本小题满分14分）
y2x21如图，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其下焦点到点P(1,2)的距离为10.不过原点O
ab2y 的直线l与C相交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分.
P (1) 求椭圆C的方程；
（2）求?OAB面积取最大值时直线l的方程.
（第19题图）
A Ox B
20.（本小题满分14分） 设递增数列
?an?满足：a1?2,an?an?1?2anan?1?4,{bn}为等比数列，且
22b1?2a1,b2(a2?a1)?4b1.
（1）求数列?an?和{bn}的通项公式； （2）求数列?an?bn?的前n项和Sn； （3）是否存在非零整数?，使不等式?(1??a1111对一切n?N* )(1?)???(1?)cosn?1?a1a2an2an?1都成立？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.
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