小中高 精品 教案 试卷
第2课时 等比数列的性质
课时过关·能力提升
基础巩固
1在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比q为( ).
A.2 B.3
C.4
D.8
答案:A
2对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ). A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 答案:D
3已知等差数列a,b,c三项之和为12,且a,b,c+2成等比数列,则a等于( A.2或8 B.2 C.8
D.-2或-8
解析:由已知得
解得
或 故a=2或a=8. 答案:A
4等比数列{a n}的公比q=
则数列 是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列
D.摆动数列
解析:由于公比q=
所以数列{an}是摆动数列. 答案:D
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). 1
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5已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= .
解析:由题意得
即
解得
- 答案:
6若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20= . 答案:50
7在 和 之间插入三个数 使这五个数成等比数列 则插入的三个数的积为 解析:设此三个数为x,y,z,即数列
由等比数列的性质可知xz=y2
构成等比数列.
设公比为q,又知y为该数列的第三项,
∴y ∴xyz=36×6=216.
答案:216
8有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数.
解由题意设此四个数为
- -
则有 解得 - 或 -
- -
所以这四个数为1,-2,4,10或
9已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
分析要求出等比数列中的某一项,可先求出其他一项和q,再利用an=amqn-m求解.
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解∵数列{an}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.
又a3+a7=20,
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.
解方程,得t1=4,t2=16,
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.
当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4=5.∴q4=4. ∴a11=a3q8=4×42=64.
当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20,
∴1+q4
∴a
11=a3q8=16
综上可知,a11的值为64或1.
能力提升
1已知等比数列{an}的公比q>0,且a3a9=
则 等于
A
解析:∵a3a9
又q>0,∴q
∴a 1
答案:B
2在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值等于( ). A.48 B.72 C.144 D.192
解析:
∴a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192.
答案:D ★
3若数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是( ).
A.{lg an} B.{1+an}
C
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解析:当an=-1时,lgan与 无意义,1+an=0,则选项A,B,D都不符合题意;选项C中,设an=a1qn-1(q是公比),
则bn
-
-
则有
- - 常数,
即数列 是等比数列. 答案:C
4等比数列{an}的各项都为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于( ). A.12
B.10
C.8
D.2+log35
解析:因为a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.
所以log3a1+log3a2+…+log3a10
=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)] =log3[(a5a6)5]=log395=10. 答案:B
5在等比数列{an}中,a2=2,a6=16,则a10= . 解析:∵a2,a6,a10成等比数列,
答案:128
6在等比数列{an}中,a888=3,a891=81,则公比q= . 解析:∵a891=a888q891-888=a888q3,
∴q3
答案:3
7某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加的台数相同,在实际生产过程中,一月份的产量与原计划相同,二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月的产量正好成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台? 解设该厂第一季度原计划三个月生产的电脑台数分别为x-d,x,x+d(d>0),
则实际上三个月生产的电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25. -
由题意,得
-
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解得
故(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台), 所以该厂第一季度实际生产电脑305台. ★
8若数列{an}是公差d≠0的等差数列,{bn}是公比q≠1的等比数列,已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3.
(1)求d和q;
(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N*都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意得
解得
(2)假设存在常数a,b.
由(1)得an=3n-2,bn=4n-1,代入an=logabn+b得3n-2=loga4n-1+b,即(3-loga4)n+(loga4-b-2)=0对一切n∈N*都成立,
∴存在常数a 使等式成立.
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