数列系列
等比数列前n项和
一、思维导图
?na1,q?1??出现高次幂?公式化简?n 等比数列前n项和Sn??a1(1?q)?,q?1出现S,a式子?消去S?nnn?1?q?出现新数列?求首项和公比???
二、例题精析
1、（2018榆林四模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且
S327a?,则5?__________ S628a3[解析]：当q?1时，S3?3a1,S6?6a1,此时，
S31?,不符合题意，故q?1， S62S327a52811a1(1?q3)a1(1?q6)32 ??,?1?q?,?q?,??q?S3?,S6?,S628273a391?q1?q
2、（2018全国一模）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1?2S5?3S3,则{an}的公比等于__________
[解析]：S1?2S5?3S3?2(S5?S3)?S3?S1,?2(a5?a4)?a3?a2,?
3、（2018大连模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n?N),且S1,S2,S3成等差数列，则数列{an}的公比q?__________
[解析]：知S1,S2,S3成等差数列，有2S2?S1?S3,?2(a1?a1q)?2a1?a1q?a1q2,?q?1.
1
a5?a4?q2,?q?2
a3?a24、（2018铁东区校级一模）设{an}是首项为a1，公差为-2的等差数列，Sn为前n项和，若S1,S2,S4成等比数列，则a1?__________
[解析]：知an?a1?(n?1)?(?2)?a1?1?n,Sn?n(a1?an)n(2a1?1?n)，又
S1,S2,S4成等比数?221, 22列，则有S2?S1S4?(2a1?1)2?a1(4a1?6),?a1??
5、（2018开封一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且9S3?S6,a2?1,则a1?__________
9a1(1?q3)a1(1?q6)1[解析]：由题意知，q?1，9S3?S6,a2?1,??,a1q?1,?q?2,a1?
1?q1?q2
6、（2018濮阳一模）已知等比数列{an}各项均为正数，满足a1?a3?3,a4?a6?6,则
a1a3?a2a4?a3a5?a4a6?a5a7?__________
[解析]：由a1?a3?3,a4?a6?6,解得：a?1,q?1an?1an?3?q2?2,?a1a3?2, 2,anan?22?(25?1)a1a3?a2a4?a3a5?a4a6?a5a7??62
2?1
7、（2018内江期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn,Sn?c?2n?1,则c?__________
2[解析]：a?S?c?21?1?c?1,a?S?S?c?22?1?c?1??1,a3??2,?a2?a1a3 11221?(?1)2?(c?1)?(?2),?c?
1, 28、（2018新疆期末）已知等比数列{an}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{an}的首项为__________
?a1(1?q4)?240?S?[解析]：由题意知：?4,?a1?a3?240?180?60,?(a1?a3)q?a2?a4, 1?q?a?a?1804?260q?180,?q?3,?a1?a1q2?10a1?60,?a1?6
2
9、（2017浦东新区期末）已知各项均为正的等比数列{an}中，a1?1,a3?4,则此数列的前n项和等于______
a3a1(1?qn)1?2n[解析]：a1?1,a3?4,?q??4,?q?2,?Sn???2n?1
a11?q1?22
10、（2018全国）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4?1,S8?3,则a9?a10?a11?a12?__________ [解析]：S4?1,S8?S4?3,S12?S8?S12?3成等比数列，则有32?1?(S?3),?S?12
1212
11、（2018马鞍山二模）等比数列{an}的前n项和为Sn?32n?1?r，则r?__________ [解析]：a?S?32?1?r?3?r,a2?S2?S1?34?1?r?3?r?24,a3?216, 111?242?(3?r)?216,?r??
3
12、（2018南海区模拟）已知等比数列{an}的前n项和为2Sn?2n?1??，则??__________ [解析]：a1?S1?
13、（2018北京模拟）设数列{an}的前n项和为Sn,若a1?1,an?1??2an(n?N?),则S1,S2,S3,S4中最小的是 __________
[解析]：a1?1,an?1??2an?
14、（2018长春二模）已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn,若a2?2,S6?S4?6a4,则
11?111(2??)?2??,同理得：a2?2,a3?4,?22?4?(2??),????2 222an?1??2,?S1?1,S2??1,S3?3,S4??5,?最小的是S4 ana5?__________
[解析]：S6?S4?6a4?a6?a5?6a4,?q2?q?6?0,?q?2,?a5?a2q3?16
3
15、（2018甘肃模拟）已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn,若a1?1,a3?a5?64,则
S6?_______
61?(1?2)[解析]：a?1,a?a?64,?qq?64,?q?2,?S??63, 13561?224
16、（2018榆林三模）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为_______ [解析]：S1,2S2,3S3成等差数列，则有4S2?S1?3S3,?S2?S1?3(S3?S2),?a2?3a3,?q?
17、（2018贵阳一模）已知等比数列{an}前n项和为Sn，且a1?a31? a231,a2a6?8(a4?2),则S2018?__________ 222[解析]：a2a6?8(a4?2)?a4,?a4?8a4?16?0,?a4?4,?q3?a4?8,?q?2, a1?S2018
1(1?22018)1
?2?22017?1?2218、（2018脑博一模）已知{an}是等比数列，若a1?1,a6?8a3,数列{1}的前n项和为Tn,则T5?_______ an11?(1?()n)1111312[解析]：a1?1,a6?8a3,?q?2,? ?1,?,?Tn??2(1?n),?T5?1a1q21621?2
19、（2018广西模拟）设数列{(n2?n)an}是等比数列，且a1?__________
[解析]：数列{(n2?n)an}的首项为2a1?11,a2?,则数列{3nan}的前15项和为654111,第二项为6a2?,公比为q?,所以有 393111111111153n?()n?2??,?数列{3nan}的前15项和1????????
3223151616n?nnn?1
4