复数
1.复数的引入： 2.数的演变过程： 3.虚数单位:
4.复数与复数的实部与虚部：
5.复数的分类：
6.复数的相等：
7.复数之间的关系：
8.复数的几何意义：
9.复平面、实轴、虚轴
10.复数的模：
11.共轭复数
例题：
例1.实数m取什么值时复数z=m?1?(m?1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
变式1：若复数z?sin2a?i(1?cos2a)是纯虚数,则a= .
变式2：使复数为实数的充分而不必要条件是 ( ) A．z?z B．
?z?z C．z为实数
2D．z?z为实数
??m变式3：若有R,R,X分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合
??2m?X?=( ).
???R??0?R?RA．R B．R C． D．
??
22z?(m?8m?15)?(m?5m?14)i的点 例2. 实数m取什么值时，复平面内表示复数
（1）位于第四象限？ （2）位于第一、二象限？
（3）位于直线上
变式1：复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（C） A.ａ≠2或ａ≠1 B.ａ≠2且ａ≠1 C.ａ＝2或ａ＝0 D.ａ＝0
变式2：已知复数A.第一象限
z1?2?i，z2?1?i，则在z?z1?z2复平面上对应的点位于（ ）
B.第二象限
2 C.第三象限
2 D.第四象限
变式3：如果3?a?5,复数z?(a?8a?15)?(a?5a?14)i在复平面上的 对应点z在第三象限.
例3.求下列复数的模及其共轭复数
?1?z1?3?4i ?2??1?z
13?i 22变式1：设z?C，满足下列条件的点z的集合是什么图形？
?3?z的实部和虚部相等 ?2 ?2?2?z?3变式2：已知x?yi?2?x,y?R?，求?1?x?y的取值范围；?2??x?2???y?2?的取值范围
变式3：已知z1=x2+x2?1i，z2=(x2+a)i对于任意x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围
22例4.求适合下列方程的x和y?x,y?R?的值 （1）?x?2y??i?6x??x?y?i （2）?x?y+1???x?y?2?i?0
变式1：解方程x?10x?40?0
变式2：(x?4)?(y?3)i?2?x,y?R?，求x,y的值
复数的运算
1.复数的加法
2.复数的相反数
23.复数的减法
4.复数加法与减法的几何意义
5.z1?z2与z1?z2的模的几何意义
例题 例1．计算：（1）(1?4i)+(7?2i)； （2）(7?2i)+(1?4i)； （3）[(3?2i)+(?4?3i)]?(5?i)
（4）(3?2i)+[(?4?3i)?(5?i)]；（5）(1?4i)-(7?2i)；
（6）(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i)； （7）(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]
变式1： 若(3?10i)y?(2?i)x?1?9i，求实数x,y的取值
变式2：求证：z1?z2?z1?z2；z1?z2?z1?z2
例2. 三个复数Z1,Z2,Z3，其中Z1?3?i，Z2是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定Z2,Z3的值。
变式1：设z为纯虚数，且z?1??1?i，求复数z
变式2：复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
变式3.指出下列关于z的方程在复平面上分别是什么图形？
?1?z?3?z?i；?2?z?2i?z?2i?6
1.复数的乘法：
2.复数的乘方：
3.复数的除法： 例题
例1．计算（1）(1?4i)?(7?2i) （2）(7?2i)?(1?4i) （3）[(3?2i)?(?4?3i)]?(5?i)
（4）(3?2i)?[(?4?3i)?(5?i)]
例2．1、计算（1）(1?4i)?(1?4i) （2）(1?4i)?(7?2i)?(1?4i)（3）(3?2i)2 2、已知复数Z，若，试求Z的值。变：若(2?3i)Z?8，试求Z的值。 变式1：求证：?1?zz?z?z；?2?z?z；?3?z1z2?z1z2
222??2
变式2：（1）计算：i37,i28,i19,i90
（2）计算：?1?i?;?1?i?;?1?i?
2220
?13??13??3?计算：???2?2i??????2?2i??；
????33?2?2i?；??1?3i?
109
例3．计算(3?2i)?(2?3i)，(1?2i)?(?3?2i)
变式1：计算
变式2：若z1?a?2i,z2?3?4i，且方，求a。
3?2i3?i，
(1?2i)2(1?i)2?1z1z为纯虚数，求实数a的取值。变：1在复平面的下z2z21?i1?i?1?i?变式3：计算;;??
1?i1?i?1?i?8