哥德巴赫猜想（B）的两种证明方法 陈礼
作者简介：陈礼，四川资中人，1943年生，1962年考入北京航空学院飞机发动机设计专业。毕业后在三线军工企业工作三十余年，现在居住在北京。2009年4月，我在中国农业科学技术出版社出版了证明哥德巴赫猜想的专著“素数逐次排除论”，此书在新华书店和网上均有销售。电话号码13051779466，电子邮箱1660183949@qq.com。
一、数学家研究哥德巴赫猜想（B）的历史和现状 哥德巴赫猜想的另外一个猜想是：（B）每一个≥9的奇数都等于三个奇素数之和，这个提法一般叫哥德巴赫猜想（B），以下简称为猜想（B），不另外说明。 猜想（B）可以从猜想（A）推导出来。因为，奇数减去奇素数是一个偶数，猜想（A）认为任何偶数都等于两个素数的和，如果猜想（A）正确，则猜想（B）自然成立。
但是，我这里要直接使用逐次排除法证明猜想（B）。
关于猜想（B），到目前为止，国际数学界公认的最新成果是：1937年，前苏联数学家维诺格拉多夫（И.М.Виноградов）证明了，每一个充分大的奇数都等于三个奇素数的和。另一个苏联数学家巴雷得金（К.Г.Бороздкий）则具体计算出，当奇数2n?1?ee16.038时，任何奇数都等于三个奇素数的和。
据说，这个充分大的奇数实在太大，有4008600位，人们无法对小于这个数的奇数进行一一验算，所以，数学界认为前苏联数学家只是基本上证明了猜想（B）。
另外，哈代（Hardy）、李特伍德（Littlewood）先生在1922年还有一个猜想式：
?1N21??1?????，（E）、r3(N)?（1+0(1)），当2N。 1?1?3??2???2?2nl(N)pN?(p?1)?pN?(p?1)?说明：式（E）中的双竖线表示后边的数不能被前面的数整除，单竖线则表示后边
的数能被前面的数整除，Π字形符号表示后面括号里的数连乘。
二、用逐次排除法证明猜想（B） 我们设[1，2N]区间内素数的总数量为?(2N)，设Sm是小于2N的最大素数，我们同样假定所有参加排除的m个素数2=S1＜?＜Sk＜?＜Sm＜2N已预先确定。
这里，我仍然认为1是素数，而且，相同的奇素数允许连续相加两次或三次。 我们先看一下在奇数很小的时候，它们符合猜想（B）的有关情况：
奇数3，因为允许三个相同奇素数相加，这里又把1看成素数，则3=1+1+1；接着是，5=1+1+3；7=1+1+5=1+3+3；9=1+1+7=1+3+5=3+3+3；11=1+3+7=1+5+5=3+3+5；13=1+1+11=1+5+7=3+5+5；15=1+3+11=1+7+7=3+5+7等。
当然，我们不可能把实例永远写下去，我们必须用逐次排除法从理论上进行证明。 设2N+1是我们研究的某奇数。则，从1到2N－1，共有奇数N个，而且，每个奇数都可加上一个偶数使得两者的和等于2N+1，如1+2N=2N+1，3+（2N－2）=2N+1等。
表1：奇数2N+1=21时，三个奇数相加等于21的组合的数量表 奇数 偶数 左面偶数分解为两个奇数相加的组合 1 3 5 20 18 16 1+19，3+17，5+15，7+13，9+11，5组 1+17，3+15，5+13，7+11，9+9，5组 1+15，3+13，5+11，7+9，4组 1
7 9 11 13 15 17 19 14 12 10 8 6 4 2 1+13，3+11，5+9，7+7，4组 1+11，3+9，5+7，3组 1+9，3+7，5+5，3组 1+7，3+5，2组 1+5，3+3，2组 1+3，1组 1+1，1组（19=2N－1） 仔细观察表1，我们发现，从2开始的每个偶数，它们对应的奇数组合数呈两组等差数列的排列，所以，三个奇数相加等于21的总组合数有N（N+2）/4=30组。 但是，这些奇数相加的组合里有很多种是会重复出现的：1）由两个奇数组成的，如1+1+19，3+3+15，5+5+11，9+9+3等，它们会出现两次。2）由三个奇数组成的，如1+3+17，1+5+15，1+7+13，1+9+11，3+5+13，3+7+11，5+7+9等，它们会出现三次。3）由一个奇数组成的，如7+7+7，这种不会重复出现，但这种情况最多只有1组。 综上，在本例奇数的30个组合中，真正独立的只有12组。为了提高可靠性，我们假定所有的组合都是可以出现三次的那种。所以，我认为独立的奇数组合的数量大约为总数量的三分之一，即独立的奇数组合数量大约为N（N+2）/12组。
按这个公式计算，本例的独立的奇数组合数是10组，与实际情况相差不大。 下面，我们要进行素数3的排除。
这个排除工作分两个阶段。首先，我们应该先排除掉表1里的奇数中的3的倍数，这和我们在自然数中寻找素数时的排除完全一致。这个排除的过程在我的“素数逐次排除论”一书中已经有详细论述，这里就不一一叙述了。然后，我们要在此时表1中组成偶数的奇数中排除复合数，这个排除工作相对比较麻烦，我们要仔细分析。
我们用同余理论很容易证明，当两个自然数相加等于某一个自然数时，这三个数的素数因子有一个排列规则：在两个数相加等于某一个数时，当其中一个加数与和数有相同的素数因子时，另外一个加数也一定会含有这个素数的因子。反之，如果和数没有包含某一个素数的因子时，则，此时两个加数一定不可能同时包含这个素数的因子。 这里，为了简化问题，我们还假定奇数2N+1都包含了所有参加排除的素数的因子。当奇数2N+1中没有包含某些大于2的素数因子时，我们再给它考虑一个放大系数。 因为我们已经假定奇数2N+1是3的倍数，则奇数的3的倍数和偶数的3的倍数会结成对子，素数3排除时将把它们同时排除掉了，则此时剩余的偶数都不是3的倍数。 此时在剩余的偶数中的奇数对子，由于等差数列的特性，相邻的3组对子中必然有两组都有3的因子，将会被排除掉，则剩余的对子数是原来的（1―2/3）。大家看表1中组成偶数20、16、14、10等的奇数对的情况就知道上面这个结论是完全正确的。
则，3排除后，剩余的三奇数剩余数组的数量为：[N（N+2）/12]（1－1/3）（1－2/3）。 素数5的排除则在这些剩余数组中进行。因为我们仍然假定奇数2N+1又包含素数5的因子，所以此时的排除仍然分为两部分：一个是在剩余的奇数中又大致排除掉1/5，另外一个是在剩余的与奇数对应的偶数中又排除了大约2/5的奇数对子。
以后的排除就这样一直继续下去，直到小于
2N的最大素数Sm参加排除为止。
则奇数2N+1所包含的三素数相加的组合的总数量D3S：
2
N2D3S =
12?1??2?1???1?1???S??S??=12?(2N)LS （1） i?2?i??i?m公式（1）说明：在2N+1很大时，（N+1）和（N+2）都几乎等于N，所以，可认
为奇数的总对子数等于N2/12。还要注意，式中那个连乘符号是从素数3开始计算的。 即，（1）式说明奇数2N+1等于三个素数相加的素数组的总数量大约是[1，2N]区间素数的数量乘以该区间孪生素数数量的乘积的十二分之一。
例如，2N=100时，素数26个，孪生素数9组，则26×9÷12=19.5，实际值：99的三素数组24个，101为38个，可见公式基本正确。
2N=10000时，1230×205÷12=21012.5，此时大约有两万多组，实际值我没去找。 我们看到，在奇数超过10000时，符合猜想（B）的三素数组的数量已经超过奇数本身了。而且，奇数越大，三素数组数量超过奇数本身的比例也越大，详见后面的分析。
公式（1）的变形：我们把素数数量和孪生素数的数量用对数表示，则：
12N(2N)(2N)2(2N)2D3S =? （2） ???233122.05lg(2N)4lg(2N)98.4lg(2N)100lg(2N)按公式（2）计算，2N=100时，三素数组应该12.5，2N=10000时，则三素数组应该为15625个，可见，公式（2）的计算值比公式（1）还低一些，也可能更可靠一些。 如果我们把素数的数量用素数定理规定的自然对数值表示，孪生素数的数量亦根据这个自然对数的值来计算，我们可以得到三素数组的理论下限值公式：
12N(2N)(2N)2D3S? （3） ???122.3026lg(2N)2.30262lg2(2N)146.4997lg3(2N)为了便于记忆，也更加可靠，我们还可把分母的系数变为150，则
(2N)2D3S? （4） 3150lg(2N)显然，公式（4）对于不小于100的任何奇数都是适用的，则猜想（B）得到证明。 公式（1）的放大系数的讨论：
上面的公式（1）显然不能反映每个奇数的情况，特别是，当奇数2N+1为素数时，我们在偶数中排除时剩余的奇数对子肯定要比公式（1）多得多。
如何考虑放大系数呢？首先，当奇数2N+1没有包含的素数参加排除时，公式（1）此时就应该有放大系数。例如，如果奇数2N+1没有3的因子，表1偶数中3的倍数一定不会被排除掉，此时剩余的对子是（1－1/3）而不是（1－2/3）。但是，我们此时还不能简单地用（1－1/3）代替（1－2/3）。因为，素数3在每三个奇数排除了一个奇数时剩余了两个奇数，其中只有一个奇数对应的偶数是3的倍数，另外一个奇数对应的偶数不是3的倍数。则，剩余的两个偶数此时总共应该剩余3个对子，比原来多1个。 素数5排除时，情况亦类似。按没有放大系数计算，每五个奇数中剩余的四个奇数对应的偶数排除后共剩余4×3=12组，现在因为其中有一个偶数会剩余4组，所以，总数量应该为13组。与此类似，素数7排除时，原来有30组，现在应该31组。??。总之，增加的数量应该比计算式（Sk—1）（Sk—2）多一个（Sk是参加该轮排除的素数）。
3
则，放大系数：F3D?SK??1???1?(S?1)(S?2)?? （5）
(2N?1),2?SK?Sm?KK?（5）式中，双竖线表示后面的数不能被前面的数整除，这里指奇数（2N+1）因子
中没有包含的不大于Sm的素数Sk。所有这些素数因子，在公式（5）中都要计算在内。
特殊的，如果奇数2N+1是素数，这时，奇数应该有最大的放大系数：
??1F3SD???1??(S?1)(S?2)?? （6）
i?2?ii?m这个最大的放大系数很可能是有极限的，但极限究竟是多大？欢迎大家深入研究。
11例如，2N+1=99时，放大系数等于(1?12、（5）则此)(1?30)?1.194，按公式（2）
时的D3S=14.925组，D3S的实际值24组；2N+1=101时，此时的放大系数则为1.67916，此时D3S =20.9895，此时D3S的实际值为38组，可见，我建立的放大系数基本准确。 我上面的这个对猜想（B）的证明最初完成于2010年11月底，定稿时间是2011年1月2日，算是我对新年献上的礼物吧！希望大家能喜欢这个礼物。
三、用统计规律的方法证明哥德巴赫猜想（B）
这里，我要用统计规律的方法证明猜想（B），这种方法只需要素数定理，不需要进行任何排除，而且，这个证明也能够回答这些三个素数相加的组合是从哪里来的问题。 我们知道，猜想（B）中奇数2N+1所包含的三个素数的所有组合，实际上都是由[1，2N]区间内的实际存在的所有素数中的某三个奇素数组合在一起形成的。
我们设[1，2N]区间内共有奇素数M个，显然，M=?(2N)－1，则这M个素数中任
3
何三个素数组合在一起的组合数的总数量是：CM=M（M－1）（M－2）/6。
例如，在[1，100]区间内，有奇素数25个，则25个素数中任何三个素数都可以组合在一起，总共可以组成2300个奇数。
上面这2300个奇数的分布规律是：其中任何三个素数的和都是小于6N（即300）的某一个奇数，而这样的奇数总共有3N（即150）个。说明，虽然人们允许其中出现相同的素数相加，但是，我们这里还规定这三个素数都必须是不同的素数。
表2：2N=100时，由区间[1，2N]内的任何三个不同的奇素数相加组成的奇数的数量分布情况表。（因为这里三个奇素数必须不同，所以奇数3、5、7都没有对子）
奇 数 组合数 43 10 81 21 45 9 83 29 9 1 47 12 85 28 11 1 49 13 87 25 13 1 51 12 89 30 15 2 53 14 91 34 17 2 55 16 93 26 19 3 57 13 95 34 21 4 59 16 97 35 23 4 61 19 99 24 25 5 63 14 27 5 65 19 29 5 67 21 31 7 69 15 33 6 71 23 35 8 73 23 37 9 75 18 39 7 77 26 41 9 79 26 101 103 105 107 109 111 113 115 117 38 39 27 40 37 29 41 39 30 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 151 153 155 39 41 29 37 40 27 42 40 24 40 37 26 41 35 25 36 35 24 33 157 159 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183 185 187 189 191 193 4
35 22 33 33 17 31 29 19 31 24 16 25 24 16 19 23 11 19 19 195 197 199 201 203 205 207 209 211 213 215 217 219 221 223 225 227 229 231 8 16 17 8 14 11 6 13 10 6 9 9 4 7 9 2 6 7 2 233 235 237 239 241 243 245 247 249 251 253 255 257 259 261 263 265 267 269 5 4 2 4 3 2 2 3 1 2 2 0 1 2 0 0 1 0 1 我们将上表汇总一下，奇数1～49共有组合123个；奇数51～99共有组合561个；奇数101～149共有组合879个；奇数151～199共有组合579个；奇数201～249共有组合149个；奇数251～299共有组合9个。
此时这些奇数分布在[1，6N]范围内每个奇数上的平均值JP是：
?1)(M?2)=15.333 （7） JP?M(M2?3?3N显然，上面这些三个奇素数组合的数量的分布是两头小中间大。那么，什么地方是
分布最密集的部分呢？我认为，这个奇数数量分布的最密集点就在区间的中点3N附近，但可能会稍微朝中点的下面倾斜一点，因此，可认为奇数数量的最密集点就在2N到3N之间，在这里就是在101到149这些奇数的范围内。从本实例看，密集区的奇数个数是相当多的，一般都大大大于上面计算的平均值15.333。另外，我们还看到，奇数为3的倍数时，数量相对较少，而奇数为素数时，数量相对较多。这是因为前者只能利用到唯一的一个含3因子的偶数的素数对，而后者可以利用很多个含3因子的偶数的素数对。当然，我们也看到，奇数数量的多和少，其差距不是很明显，相对还是分布比较均匀。 因为表2是区间[1，2N]内的任何三个实际存在的奇素数相加组成的奇数数量，则我们可以将这个平均值JP放到2N+1这个奇数上。
即我们可以用这个平均值JP表示组成奇数2N+1的三个奇素数相加的组合个数。 我们知道，当2N很大时，M、（M－1）、（M－2）都趋近于?(2N)，因为今后平均值JP的数值是非常大的，所以我们可以利用一个比较小的?(2N)值进行计算，并且以这个平均值JP作为组成奇数2N+1的三个奇素数相加的个数的理论下限值。
我们首先对公式（7）进行变换：
M3?3(2N) （8） JP??9(2N)9(2N)2N(2N)2(2N)2按素数定理，?(2N)=，所以，JP? （9） ?ln(2N)9ln3(2N)110lg3(2N)为了更加可靠，我们可将JP的值再减少一些，例如将分母中的110变为125。 则组成奇数2N+1的三个奇素数相加的总个数的理论下限值是：
(2N)2 （10） D3S?JP?125lg3(2N)当2N=100时，我们按照公式（10）计算，D3S＞JP=10，可见，由公式（10）决定的这个理论下限值实际上已经大大低于实际值，下限值相当小，也是相当可靠的。 我们还看到，随着2N的不断扩大，JP也将越来越大，当2N=10000时，JP=12500。而此时按公式7计算的JP=20575.59，可见，此时D3S的实际值很可能已经大于20000。
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显然，证明猜想（B）比证明猜想（A）要容易得多。因为，由[1，2N]内三个奇素数相加可以组成的奇数数量的平均值JP不但比同一个[1，2N]内的两个奇素数相加可以组成的偶数数量的平均值多得多，在奇数很大时，其JP数值甚至还可以大大超过2N。
例如，2N=1010时，按照公式（10），D3S＞8×1014，已经远大于2N=1010。 2N=10100时，按照公式（10），D3S＞8×10191，远远大于2N=10100。 2N=101000时，按照公式（10），D3S＞8×101988，远远大于2N=101000。 2N=1010000时，按照公式（10），D3S＞8×1019985，远远大于2N=1010000。 显然，随着2N的不断扩大，组成任何奇数2N+1的三个素数组合数的个数将越来越多。因此，从奇数9开始，任何奇数都一定等于三个奇素数的和。
大家可能又会想，自然数无穷大时又如何？我想，那时实际存在的三素数组的平均值JP已经多得人类永远都数不清了，那么多对子会跑哪里去呢？为什么我们还担心那时处于中部的理论上应该最多的部分的奇数连一个三个素数相加的组合都不存在呢？
哥德巴赫猜想（B）证明完毕，望天下识者教正。 四、结束语
我上面用两种方法证明了哥德巴赫猜想（B），我从完全不同的角度，得出的公式却基本上是一致的或相近的，实践证明我的公式都是基本正确的。
这是为什么呢？我认为，那是因为我已经基本认识了客观规律，所以，我怎么证明都有道理。反之，我想，如果你没有认识客观规律，你可能怎么证明都可能是错的。 我认为，归根结底，我们证明哥德巴赫猜想（A）、（B），最重要的依据都是素数的无限性，以及由素数定理确定的素数分布的基本规律。如果没有素数的无限性，则以上的所有结论都是不可能存在的。由素数定理确定的素数分布的基本规律让我们知道，永远都会有足够多的素数数量能够保证猜想（A）、（B）永远都能够成立。
陈 礼 2011年1月4日15：10完成于北京市建国路29号
陈 礼 2013年1月19日21：52修改于北京市建国路29号 陈 礼 2013年1月20日11：20最后完成于北京市建国路29号
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