不等式的解法
【考纲要求】
1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系， 2.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，
4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。 【考点梳理】
要点一、一元二次不等式的解法
设相应的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为x21、x2且x1?x2，??b?4ac，则不等式的解的各种情况如下表：
??0 ??0 ??0 二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象 一元二次方程有两相等实根ax2?bx?c?0有两相异实根b?a?0?的根x1,x2(xx1?x2??1?x2) 2a 无实根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集?xx?x或x?x?12???xx??b?2a?? R ax2?bx?c?0(a?0)的解集?xx1?x?x2? ? ?
说明:一元二次不等式的步骤：
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：A?ax2?bx?c(a?0) （2）计算判别式?，分析不等式的解的情况：
①??0时，求根x1?x2（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②??0时，求根x1?x2??b2a； ③??0时，方程无解
（3）写出解集.
要点二、高次不等式的解法
高次不等式：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1, x2, ……,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N).
说明：
作出相应函数的图象草图.具体步骤如下： (1)明确标出曲线与x轴的交点，
(2)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.
要点三、指对不等式的解法
解法指导：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性. 要点诠释：
(1)af(x)?ag(x)(a>0,a≠1).当01时，f(x)>g(x).
(2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0.令ax=t(t>0)，转化为mt2
+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合.
(3)logaf(x)>logag(x) (a>0, a≠1).
?f(x) 当0
? 当a>1时，?f(x)?0?g(x)?0??g(x)?0???f(x)?g(x)?f(x)?g(x)
(4) m?(logaf(x))2?n?logaf(x)?k?0.
令log2
af(x)=t(t∈R)，转化为mt+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合.
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【典型例题】
类型一：一元二次不等式
例1. 不等式x2?mx?n?0的解集为x?(4,5)，求关于x的不等式nx2?mx?1?0的解集。
【解析】由题意可知方程x2?mx?n?0的两根为x?4和x?5
由韦达定理有4?5??m，4?5??n ∴m??9，n??20
∴nx2?mx?1?0化为?20x2?9x?1?0，即20x2?9x?1?0
(4x?1)(5x?1)?0，解得?114?x??5，
故不等式nx2?mx?1?0的解集为(?114,?5).
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
【练习1】已知ax2?2x?c?0的解为?13?x?12,试求a、c,并解不等式?cx2?2x?a?0. 【解析】由韦达定理有：?13?12??2a，?13?12?ca，∴a??12,c?2.
∴代入不等式?cx2?2x?a?0得?2x2?2x?12?0，
即x2?x?6?0，(x?3)(x?2)?0，解得?2?x?3，
故不等式?cx2?2x?a?0的解集为：(?2,3).
【练习2】已知关于x的不等式x2?ax?b?0的解集为(1,2)，求关于x的不等式bx2?ax?1?0的解集.
【解析】由韦达定理有：???a?1?2，解得??b?1?2?a??3, 代入不等式?b?2bx2?ax?1?0得
2x2?3x?1?0，即(2x?1)(x?1)?0，解得x?12或x?1.
∴bx2?ax?1?0的解集为：(??,12)(1,??).
例2．已知关于x的不等式(m2
+4m-5)x2
-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
【解析】(1)当m2
+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意。
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。
(2)当m2
+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2
-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
?所以??m2?4m?5?0，
????16(m?1)2?12(m2?4m?5)?0 即??m?1或m??5?1?m?19， ∴ 1 综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}。 【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。 举一反三： 【练习1】若关于x的不等式mx2?(2m?1)x?m?1?0的解为一切实数，求m的取值范围. 【解析】当m?0时，原不等式为：?x?1?0，即x??1，不符合题意，舍去. 当m?0时，原不等式为一元二次不等式，只需m?0且??0， 即??(2m?1)2?4m(m?1)?0，解得m??1，?m?08 综上，m的取值范围为：m?????,?1??8??. 【练习2】若关于x的不等式mx2?(2m?1)x?m?1?0的解集为非空集，求m的取值范围. 【解析】当m?0时，原不等式为：?x?1?0，即x??1，符合题意. 当m?0时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当m?0时，只需??0， 即??(2m?1)2?4m(m?1)?0，解得?1?m?0，?m?08 综上，m的取值范围为：m?[?18,??). 类型二：高次不等式 例3．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0;(2)(x2 -5x-6)(1-x)>0. 【解析】(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）. 所以不等式的解集为(-∞,-2)?(-1,1)?(2,+∞). (2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0.作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)?(1,6). 【总结升华】(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不 2 是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集. log0.25(x?1)??log4(x?1)，往往将此项移项，这样可以避开分式运算；(3)如出现以2和4为底数 举一反三： 的对数，最好统一成4为底的对数，这样可以避开无理式运算. 【练习1】解不等式(x+2)(x+1)2 (x-1)3 (x-3)>0. 【解析】此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3 (x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3， 故解集为(-2,-1)?(-1,1)?(3,+∞). 【总结升华】本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于??x??1?1)(x?3)?0 ?(x?2)(x类型四：指对不等式 例5．解不等式 2x2?2x?3?(12)3(x?1). 【解析】2x2?2x?3?(1)3(x?1)2， 所以 x2 -2x-3<3-3x, 所以 x2 +x-6<0, 所以 -3 所以原不等式的解集为（-3，2）. 举一反三： 【变式】解不等式22x?3?2x?2?64?0. 【解析】原不等式可化为(2x)2?12?2x?64?0设2x=t(t>0), 则t2 -12t-64≤0. 所以 -4≤t≤16, 因为t>0.所以 0 ≤16, 从而x≤4. 所以原不等式的解集是（-∞，4]. 例6．解不等式log2(x?1)?log0.25(x?1)?log4(2x?1) 【解析】原不等式可化为：log4(x?1)2?log4(2x?1)?log4(x?1) log4(x?1)2?log4(2x?1)(x?1) ??x??1?x?1?0 所以 ??x?1?0?x?1所以 ???2x?1?0?所以??x?1 1 【总结升华】(1)解对数不等式要考虑原不等式中的定义域；(2)如出现 3