⒌向量组?1?1,0,?2?0,1,?3?0,0的极大线性无关组是?1,?2． ⒍向量组?1,?2,?,?s的秩与矩阵个．
⒏设线性方程组AX?b有解，X0是它的一个特解，且AX?0的基础解系为X1,X2，则AX?b的通????????1,?2,?,?s?的秩 相同 ．
⒎设线性方程组AX?0中有5个未知量，且秩(A)?3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 解为X0?k1X1?k2X2．
9．若?是Ａ的特征值，则?是方程?I?A?0 的根． 10．若矩阵Ａ满足A?1?A? ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组
??x1?3x2?2x3?x4?6??3x1?8x2?x3?5x4?0??2x1?x2?4x3?x4??12 ???x1?4x2?x3?3x4?2解：
??1?3?2?16??3r?r?1?3?2?16?3r?r?101923?48?A??3?8150?121178?18???2r1?r3??r?1?r4????0178?18??5r22?r3????r1??r4??0??21?41?12?02739?90????14?1?32????0?5?8?10??01?3?48????0?00?10?1226??3r4?r3??101923?48??101923?48??19r?r?10042?124???12?r4??0178?18??1r3?0178?18???003?312????3????001?14??7r31?3?r2?????5r3???r?4??01015?46?001?1??0056?13????0056?13???4??00011?33???10042?124?0002?1??42r?r??11??r4??01015?46?1?15r414?r2?0100?1??x1?2??001?14???r?4?r?3????00101?? ?方程组解为???x2??1
?x3?1?0001?3????0001?3????x4??3２．设有线性方程组
???11??x??1??1?1?????y??????? ?11?????z?????2???? 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?
??111??2A???1?1???r?1??r3??11??2??1?1??????r??1r?r?211???1???r3???0??11?????2???解：
?11??2??????111????01??1??21??3???11?2?］
?r?2??r3????0??11???(1??)????00(2??)(1??)(1??)(1??)2??? 当??1且???2时，R(A)?R(A)?3，方程组有唯一解
当??1时，R(A)?R(A)?1，方程组有无穷多解
6
３．判断向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中
???8?????2??3???5?????37???5???6???,?1???,?2???,?3??? ?7???10????1??3????0???2????3??1?? 解：向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，当且仅当方程组?1x1??2x2??3x3??有解
???23?5?8??1037?这里 A????7?5?6?3?1?341?1,?2,3,??????????????????0??1037??0010?117? ?3?21?10????000571??R(A)?R(A)
? 方程组无解
? ?不能由向量?1,?2,?3线性表出
４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关
??1????3???1??1??1?7???3??9?????2??,????????12??8??3???,?3???0??,?4???6?
???9???3???4????13????3??3?????6????13?11??13?11???1?7?39???0112??解：??1,?2,?3,?4????2806?????????????00018? ?39?33?000?????0??413?36????0000???该向量组线性相关
５．求齐次线性方程组
??x1?3x2?x3?2x4?0???5x1?x2?2x3?3x4?0??x1?11x 2?2x3?5x4?0??3x1?5x2?4x4?0的一个基础解系． 解：
??1?31?2?5r?r?1?31?2??3r52?1?A???51?23?12?r1?r3????3r1?r40?143?7??r?11????14?014?rr2?r32?27???1?112?5??????0?143?7?????r4????0?143?3504????014?3??0000? ?10???0003?? 7
?0505?1?05?1r?114?1??2??114?1140???r?142?3??r4??12?r?r??12311?01?31?12???3??r3?01?32????2r3??r2?1?30?? ?000143?1????????00014??0?000141???0000????0000????0000????x51??x3??14??5?14?? 方程组的一般解为??x3?3??2?14x3 令x3?1，得基础解系 ????14?? ??x4?0?0????1?? ６．求下列线性方程组的全部解．
??x1?5x2?2x3?3x4?11???3x1?x2?4x3?2x4??5??x1?9x2?4x?17
4??5x1?3x2?6x3?x4??1解：
?9?1?52?311?3r?r?1?52?311??5r?2?rA???31?42?5?r121?r3?0?142?728???141r?102?r37?1??2?27??1?90?417????5r1???r4???28??2?r2??r4????0?14?7?536?1?1???0?142?028?4???000014?56??0000??1097?11????1r?12x??71??14?2???01?12?2????19x3?2x4?1?000700? ?方程组一般解为?????x2??11
?00000??7x3?2x4?2?令x3?k1，x4?k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解
??x?1???7k1?1k2?1?????7??1??x?2?1929??2??1???1??????k?1k1???2?12?2??k???k???x12????
3??7?x??k2???7????2?0????0?4??11?k??0??0??2?????1??７．试证：任一４维向量???a?1,a2,a3,a4?都可由向量组
??1????1???1??1?01?1??1??1?????0?，?2????0?，?3????1?，?4????1?
?0????0????0????1??线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．
??1??0??0????0???0???? ??1??00?证明：?12?1??? ?3??2???0??? ?4??3???1??
?0??0????0????0???0??1??1??28?0??0??8
任一４维向量可唯一表示为
?a1??1??0??0??0??a??0??1??0??0?2?????a1???a2???a3???a4???a1?1?a2(?2??1)?a3(?3??2)?a4(?4??3)
?a3??0??0??1??0???????????a000???????1??4??(a1?a2)?1?(a2?a3)?2?(a3?a4)?3?a4?4
⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解． 证明：设AX?B为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即R(A)?R(A)?n
从而AX?B有唯一解当且仅当R(A)?n
而相应齐次线性方程组AX?0只有零解的充分必要条件是R(A)?n
? AX?B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX?0只有零解
9．设?是可逆矩阵Ａ的特征值，且??0，试证：1是矩阵A?1?的特征值．
证明：??是可逆矩阵Ａ的特征值
? 存在向量?，使A????
?
I??(A?1A)??A?1(A?)?A?1(??)??A?1???
?A?1??1??
即1?是矩阵A?1的特征值 10．用配方法将二次型f?x22221?x2?x3?x4?2x1x2?2x2x4?2x2x3?2x3x4化为标准型．
解：
f?(x222x221?x2)?x3?x4?2x2x4?2x2x3?2x34?(x1?x2)2?x3?2x3(?x2?x4)?x4?2x2x4 ?(x221?x2)2?(x3?x2?x4)?x2 ? 令y1?x1?x2，y2?x3?x2?x4，y3?x2，x4?y4
??x1?y1?y3即??x2?y3?x3?y
2?y3?y4??x4?y4则将二次型化为标准型 f?y2?y2212?y3 工程数学作业（第三次）(满分100分)
第4章 随机事件与概率
（一）单项选择题
⒈A,B为两个事件，则（ B）成立．
A. (A?B)?B?A B. (A?B)?B?A C. (A?B)?B?A D. (A?B)?B?A ⒉如果（ C）成立，则事件A与B互为对立事件． A. AB?? B. AB?U
C. AB??且AB?U D. A与B互为对立事件
⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D A. C3210?0.7?0.3 B. 03. C. 0.72?0.3 D. 3?0.72?0.3 4. 对于事件A,B，命题（C ）是正确的．
9
）．
A. 如果A,B互不相容，则A,B互不相容 B. 如果A?B，则A?B
C. 如果A,B对立，则A,B对立
D. 如果A,B相容，则A,B相容
⒌某随机试验的成功率为p(0?p?1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． A.(1?p)3 B. 1?p3 C. 3(1?p) D. (1?p)3?p(1?p)2?p2(1?p)
6.设随机变量X~B(n,p)，且E(X)?4.8,D(X)?0.96，则参数n与p分别是（A ）． A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2
7.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则对任意的a,b(a?b)，E(X)?（A ）． A. C.
??????bxf(x)dx B.
?baxf(x)dx f(x)dx
af(x)dx D.
?????8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．
?3????sinx,??x?sinx,0?x??? A. f(x)??22 B. f(x)??2
??其它其它?0,?0,3???sinx,0?x???sinx,0?x? C. f(x)?? 2 D. f(x)??0,其它??其它?0,9.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，则P(a?X?b)?（ D）．
A. F(a)?F(b) B. C. f(a)?f(b) D.
?baF(x)dx
?baf(x)dx
10.设X为随机变量，E(X)??,D(X)??2，当（C ）时，有E(Y)?0,D(Y)?1． A. Y??X?? B. Y??X?? C. Y?X??? D. Y?X???2
（二）填空题
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为
2． 5.，则当事件A,B互不相容时，P(A?B)? 0.8 ，P(AB)? 2.已知P(A)?0.3,P(B)?050.3 ．
3.A,B为两个事件，且B?A，则P(A?B)?P?A?．
4. 已知P(AB)?P(AB),P(A)?p，则P(B)?1?P．
5. 若事件A,B相互独立，且P(A)?p,P(B)?q，则P(A?B)?p?q?pq．
.，则当事件A,B相互独立时，P(A?B)? 0.65 ，P(AB)? 6. 已知P(A)?0.3,P(B)?050.3 ．
x?0?0?0?x?1． 7.设随机变量X~U(0,1)，则X的分布函数F(x)??x?1x?1?8.若X~B(20,0.3)，则E(X)? 6 ．
10