第六次习题课讨论题
本次习题课主要讨论导数的初步应用。具体说来有五个方面的内容： 一． 关于中值定理的补充 二． 证明不等式 三． 计算函数极限（利用L’Hospital法则或Taylor展式） 四． 研究曲线性质 五． 零点问题
一． 关于中值定理的补充
题1. 广义Rolle定理（习题4.1题11, p.95）
(1) 设函数f(x)在(a,b)上可导，且满足limf(x)?limf(x). 求证：存在
x?a?x?b???(a,b),使得f?(?)?0。
(2) 设函数f(x)在(a,??)上可导，且满足lim?f(x)?limf(x). 求证：存在
x?ax?????(0,??)使f?(?)?0。
（3）问在结论（2）中，将区间(a,??)改作(??,a)或(??,??)，结论是否仍然成立？
题2．中间点的极限位置（第4章总复习题题10，p.125）
设f(x)在(?1,1)内二阶可导且f??(x)?0,?x?(?1,1)。试证:（1）对(?1,1)内的任一点x?0,存在唯一的?(x)?(0,1)，使 f(x)?f(0)?xf???(x)x?；（2）
lim?(x)?1/2 .
x?0注：上述结论有如下推广：设f(x)在(?1,1)内n?1阶可导且f(n?1)(x)?0,?x?(?1,1)。则（1）对(?1,1)内的任一点x?0，存在唯一?(x)?(0,1)，使
1f(n?1)(0)n?1f(n)(?(x)x)n（2）lim?(x)? . f(x)?f(0)?f?(0)x???x?x。
x?0n?1(n?1)!n!二．证明不等式
1)。 题1. 证明不等式 (1?x)ln2(1?x)?x2，?x?(0,题2. 证明不等式 4xlnx?x2?2x?3，?x?(0,2)。
题3. 证明不等式
x?x?arctan(x?1)??, ?x?0。
42x2?2x?2题4. （第4章总复习题题11, p.125） 设函数f(x)在闭区间[0,1]上二阶可导，
}??1。证明存在??(0,1)，且f(0)?0?f(1)。 进一步假设min{f(x), x?[0,1]使得f??(?)?8。
三．计算函数极限（利用L’Hospital法则或Taylor展式）
题1.（第4章总复习题题16, p.125）求极限
xx?1(lnx?1)?xcosx?e?x(i) lim； (ii) limx?1x?11?xx42/2
题2. 设f(x)在x?0某邻域内可导，且f(0)?1,f?(0)?2，求极限
lim[nsin(1/n)]n??n1?f?1/n?。
6?f(x)?sin6x?xf(x)?lim题3. 假设极限lim?，求极限。 ?0?23x?0x?0xx??
题4. 设f(x)在[0,??)上处处可导且limf?(x)?e。求常数C，使得
x????x?C?lim???lim?f(x)?f(x?1)?。(*) x???x?Cx?????
x四． 研究曲线性质
题1. 求k的值，使得曲线y?e2x与曲线y?kx有唯一的公共切线，并求切点和公切线方程。
题2. 求一个单位圆的位置，该单位圆的圆心在y轴上，并位于抛物线y?x2的上方，且与抛物线y?x2恰好有2个切点。
题3. 证明星形线x2/3?y2/3?a2/3上任一点的切线被坐标轴截下的部分的长度为常数，这里a?0。
五．零点问题
题1. 设f(x)在?0,1?连续，在?0,1?可微，且f(1)?0。证明存在c??0,1?，使
f(c)?cf?(c)?0。
题2．设函数f(x),g(x)在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导，且g??(x)?0，
f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0。 求证
（1）g(x)?0，?x?(a,b)；
f(c)f??(c)（2）?c?(a,b)，使得 。 ???g(c)g(c)题3．对任意正整数n，证明方程ex?xn?0至多有三个不同的零点。 题4. 设函数f(x)在?0,1?上可导，且满足0?f(x)?1和f?(x)?1，?x?[0,1]。证明存在唯一的???0,1?，使得f(?)??。
题5.设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?1，求证存在?,??(a,b)，使得
e???[f(?)?f?(?)]?1。
题6.设函数f?x?在?0,1?上连续，在?0,1?内可导，且f?0??f?1??0。证明存在
???0,1?使2f?????f?????0。
（0,1）1]上连续，在题7. 设函数f(x)在[0,内可导，且f(0)?0，f(1)?1。 证明
（1）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（2）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1.
注：结论（2）中出现了两个不定的中间点?和?。这提示我们可能需要两次使用中值定理。