中国计量学院200 7 ~ 200 8 学年第 1 学期
《 高等数学（C）(1) 》课程 试卷（ A ）参考答案及评分标准
开课二级学院：理学院，学生班级：07国贸1、2，07财管1、2、3，07工设1，07营销1、2，教师：章仁江 何满喜 杨 艳
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、A 2、C 3、B 4、D 5、A 二、填空题（每空3分，共18分）
1、-1 2、充分必要 3、ex 4、0 ； 跳跃 5、三、计算题（共35分） 1．(5分) lim?1?x?013x12
x?3x1
11解：lim?1?x?0x???3x?lim??1?x??………………….…..…………….……………..…..(+2分)
x?0??11??3??lim?1?x?x??e3……………….……………………..….……….(+3分) ?x?0?12．（5分）limxlnx
x?0?解：limxlnx?limx?0?lnx1xx?0?……………….…..…………………………………..…(+2分)
1?lim?x?0?x……………….…..……………………………….……(+2分)
1x2?lim?(?x)?0……………………………….…….…..……..……(+1分)
x?03．（5分）求由方程x?y?3axy?0(a?0)确定的隐函数y?y(x)的微分dy
解：dy?y?(x)dx…………………….…….…..…………………………………..……..…(+2分)
?ay?x2233y?axdx…..
………….…….…..…………………………………..………....…(+3分)
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4. （5分）求函数y?x3?6x2?9x?4的极值 解：y??3x?12x?9?3(x?1)(x?3)
驻点：x1?1，x2?3 ….…..…………………………………..…… (+2
2分)
y???6x?12?6(x?2)? y??(1)??6， y??(3)?6 ..…… (+2分)
故函数有极大值y(1)?0,极小值y(3)??4 ………………..………. (+1分)
?x2,5. （5分）已知函数 f(x)???ax?b,x?1x?1 求a，b为何值时函数f(x)在x=1处可导。
解：因为在点x=1处可导必连续，所以
a?b?…………………………………………………………..……….……(+2分)
又在点x=1处可导，所以
f?(1)?a?f?(1)?2………………………………………………..……….……..(+2分)
所以 a?2, b??1……………………………………………..……….………..(+1分) 6．（5分）?xln解：?xlnxdx?xdx
12x)?2?lnxd(121212xlnx?1222?21x(lnx)?dx……….……………….…… (+3分) 14x?C……………………………… (+2分)
22?xlnx??21xdx?xlnx?7．（5分）?a?x22dx(a?0)
解：?1a?x22dx?1?a1x21?()a1dx……………………………………………… (+2分)
??x21?()ad(1ax)?arcsin(xa)?C………………………… (+3分)
四、作图题（共16分） 给定函数y?(x?3)24(x?1)
（1） 找出函数曲线的单调区间及凹凸区间（6分）
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（2） 求函数的所有渐近线（6分）
（3） 在直角坐标系中画出函数图像（4分） 解：（1）函数的定义域为(??,1)?(1,??)
(x?3)(x?1)4(x?1)2(x?1)32 令y???0，解得x??1,3
令y????0，无解
列表………………………………………………………………………..…………………....(+2分)
x (??,?1) -1 0 极大值 (-1,1) - - ↘凸 (1,3) - + ↘凹 3 0 极小值 (3,??) f?(x) f??(x) f(x) + - ↗凸 + + ↗凹 则函数在(??,?1)?(3,??)单增，在(?1,1)?(1,3)单减，函数曲线的凹区间为(1,??)，凸区间为(??,1)…………………………………………………..…………………....(+4分) （2）x?1为垂直渐近线……………………………………..…………………………...(+3分) y?14x?54为斜渐近线……………………………………..……………………....(+3分)
（3）曲线经过（3,0）和(0,-9/4)
-1 1 2 3 …………………………………(+4分)
五、应用题（共8分）
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已知某厂生产某种产品x件的费用为C(x)?25000?200x?140若产品以每件500元x元，
2售出，要使利润最大，应生产多少件产品，最大利润为多少？ 解：设生产x件商品，则利润函数L(x)为：
L(x)?R(x)?C(x)?500x?(25000?200x?L?(x)??140x)??2140x?300x?25000…….….(+2分)
2120x?300，令L?(x)?0，得x=6000…….……………….………………..(+3分) 120?0而L??(6000)??，因此L(6000)是极大值且唯一极值，所以为最大值………...(+1分)
故当生产6000件商品时可获得最大利润L(6000)=875000元． …………………….(+2分) 六、证明题（共8分）
证明：arctana?arctanb?a?b，其中a,b为任意实数。
证：令y?f(x)?arctanx，不妨设a?b，……………………………………………….(+2分) 则f(x)在[b,a]连续且可导
由拉格朗日中值定理得，存在点??(b,a)，有
arctana?arctanba?b11??2arctanaarctan?a?bb1?f?(?)?1??2….(+2分)
因此??1
因此arctana?arctanb?a?b……………………………………………………….….(+2分) 同理可证，当a?b时，arctana?arctanb?a?b也成立。………………...……….(+2分)
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