课时达标检测（十四） 指数函数及其性质
一、选择题
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
?1?x－1x①y＝??；②y＝a(a>0，且a≠1)；
?2??1?2xx③y＝1；④y＝??－1.
?2?
A．0 C．3
B．1 D．4
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．设函数f(x)＝a－|x|
(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则( )
A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2)
1?1?－|x||x|－2
解析：选A 由f(2)＝a＝4，得a＝，即f(x)＝??＝2，故f(－2)＞f(－1)．
2?2?3．当x>0时，函数f(x)＝(a－1)的值总大于1，则实数a的取值范围是( ) A．(－2，－1)∪(1，2) B．(－1,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D 依题意得a－1>1，a>2，∴|a|>2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
2
2
2
xxax4．函数y＝(0
|x|
解析：选D 当x>0时，y＝a(0
xxax(0
5．若a>1，－1 解析：选A ∵a>1，且－1 二、填空题 x6．已知函数f(x)＝??? 2， x≥3， ?? fx＋， x＜3， 则f(2)＝________. 解析：f(2)＝f(3)＝23 ＝8. 答案：8 7.图中的曲线C1，C2，C3，Cx4是指数函数y＝a的图象，而a∈ ???21 ?? ?，3，5，π ??3 ?? ，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是 ________，________，________，________. 解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低． 则知CC 2的底数<1的底数<1 故C1，C22，C3，C4对应函数的底数依次是3，1 3 ，π，5. 答案： 23 1 3 π 5 ?1??+18．若x1，x2是方程2＝??x的两个实数解，则x1＋x2＝________. ?2? x1?1??+1解析：∵2＝??x， ?2? x1∴2＝2 x1-1x， 1 ∴x＝－1， x∴x＋x－1＝0. ∴x1＋x2＝－1. 答案：－1 三、解答题 2 ?1?x?1?x9．求函数y＝??－??＋1在[－3,2]上的值域． ?4??2??1?x?1?x??1?x?2?1?x解：y＝??－??＋1＝????－??＋1， ?4??2???2???2??1?x?1?232 令??＝t，则y＝t－t＋1＝?t－?＋， ?2??2?4 1对称轴为直线t＝. 2 1?1?x1 因为x∈[－3,2]，所以≤??≤8，即≤t≤8. 4?2?413 当t＝时，ymin＝； 24当t＝8时，ymax＝57. ?1?x?1?x?3?∴函数y＝??－??＋1在[－3,2]上的值域为?，57?. ?4??2??4? 10．已知－1≤x≤2，求函数y＝f(x)＝3＋2×3解：f(x)＝3＋2×3 xx＋1 xx2 xx＋1 －9的值域． x－9＝－(3)＋6×3＋3. 2 令3＝t，则y＝－t＋6t＋3＝－(t－3)＋12. 1 ∵－1≤x≤2，∴≤t≤9. 3 由于当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12； 当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24. 故所求函数f(x)的值域为[－24,12]． 11．已知函数f(x)＝a在[－2,2]上恒有f(x)＜2，求a的取值范围． x2 解：当a＞1时， 函数f(x)＝a在[－2,2]上单调递增， 此时f(x)≤f(2)＝a， 由题意可知a＜2，即a＞2， 所以1＜a＜2. 当0＜a＜1时， 函数f(x)＝a在[－2,2]上单调递减， 此时f(x)≤f(－2)＝a 由题意可知a＜2，即a＞所以2 ＜a＜1. 2 －2 －2 2 2 xx2， 2 综上所述，所求a的取值范围是? x?2? ，1?∪(1，2)． ?2? x12．求k为何值时，方程|3－1|＝k无解？有一解？有两解？ 解：函数y＝|3－1|的图象是由函数y＝3的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到，函数图象如图所示． 当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3－1|的图象无交点，即方程无解； 当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0 xxxx