2．3．2离散型随机变量的方差
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
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过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=aDξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教具准备：多媒体、实物投影仪 。
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教学设想：了解方差公式“D(aξ+b)=aDξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，
并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是(x1?x)2，(x2?x)2，…，(xn?x)2，那么S?21[(x1?x)2＋n(x2?x)2＋…＋(xn?x)2]
叫做这组数据的方差 教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5. 分布列: x2 … xi … P P2 … Pi … 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
ξ x1 P1 kkn?k7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记Cnpq＝b(k；n，p)．
ξ 0 00nCnpq 1 … k … n nn0Cnpq P 11n?1Cnpq … kkn?kCnpq … 8.几何分布： g(k，p)= qk?1p，其中k＝0,1,2,…， q?1?p．
ξ 1 2 3 … k … … P p pq q2p … qk?1p 9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … … 则称 E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为ξ的数学期望，简称期望．
10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1?p2?…?pn，则有p1?p2?…?pn?均值 11，E??(x1?x2?…?xn)?，所以ξ的数学期望又称为平均数、nn12. 期望的一个性质: E(a??b)?aE??b 13.若ξB（n,p），则Eξ=np 二、讲解新课：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么,
D?＝(x1?E?)2?p1＋(x2?E?)2?p2＋…＋(xn?E?)2?pn＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E?是随机变量ξ的期望．
2. 标准差:D?的算术平方根D?叫做随机变量ξ的标准差，记作??． 3.方差的性质：（1）D(a??b)?aD?；（2）D??E??(E?)； （3）若ξ～B(n，p)，则D??np(1-p) 2224.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值
的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为 ξ P 从而
1 2 3 4 5 6 1 61 61 61 61 61 6111111EX?1??2??3??4??5??6??3.5;
6666661111DX?(1?3.5)2??(2?3.5)2??(3?3.5)2??(4?3.5)2?6666
11?(5?3.5)2??(6?3.5)2??2.9266?X?DX?1.71.
例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2 1000 1400 1800 2000 0.4 0.3 0.2 0.1 1200 1400 1600 1800 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;
EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .
因为EX1 =EX2, DX1 例3．设随机变量ξ的分布列为 ξ P 求Dξ 1 2 … … n 1 n1 n1 nn?1n2-1 解：（略）E??, D?? 212例4．已知离散型随机变量?1的概率分布为 ?1 P 1 2 3 4 5 6 7 1 71 71 71 71 71 71 7离散型随机变量?2的概率分布为 ?2 P 3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3 1 71 71 71 71 71 71 7求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解：E?1?1?111?2??????7??4； 777111D?1?(1?4)2??(2?4)2??????(7?4)2??4；??1?D?1?2 777111E?2?3.7??3.8??????4.3??4； 777D?2=0.04, ??2?D?2?0.2. 点评：本题中的?1和?2都以相等的概率取各个不同的值，但?1的取值较为分散，?2的取值较为集中．E?1?E?2?4，D?1?4，D?2?0.04，方差比较清楚地指出了?2比?1取值更集中． ??1＝2，??2=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的 概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平 解：E?1?8?0.2?9?0.6?10?0.2?9 D?1?(8?9)2?0.2?(9?9)2?0.6+（10-9）2?0.2?0.4； 同理有E?2?9,D?2?0.8 由上可知，E?1?E?2，D?1?D?2所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些． 点评：本题中，?1和?2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．E?1?E?2=9，这时就通过D?1=0.4和D?2=0.8来比较?1和?2的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况 例6．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： 0 A机床 1 2 3 0.04 0 B机床 1 2 3 次品数ξ1 概率P 次品数ξ1 概率P 0.7 0.2 0.06 0.8 0.06 0.04 0.10 问哪一台机床加工质量较好 解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差 Dξ1=（0-0.44）×0.7+（1-0.44）×0.2+（2-0.44） ×0.06+（3-0.44）×0.04=0.6064, Dξ2=（0-0.44）×0.8+（1-0.44）×0.06+（2-0.44）×0.04+（3-0.44）×0.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习： 1 .已知?~B?n,p?,E??8,D??1.6，则n,p的值分别是（ ） A．100和0.08； B．20和0.4； C．10和0.2； D．10和0.8 答案：1.D 2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望． 分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件． 解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 222 2 222 2