青岛大学学士学位论文
1引 言
随着人类社会的进步、科学技术与经济的发展，实际问题的概率研究已经与人们的生活不可分割，已经成为人们生活中不可或缺的一部分。随机变量数字特征是概率论中重要的内容,在概率论与数理统计中有着广泛的应用。“避其锋芒”“投其所好”的思想，无论是在金融理财还是在理论科学研究中都得到了更广泛的应用，从而可以看出，实际问题的概率分析在很长时间以前就得到了人们的关注，只不过在现在的生活中应用得更加的广泛与全面。
在数学中，我们习惯将实际问题抽象为我们习惯的数学语言，随机现象的发生需要用随机变量来描述。随机变量的不同取值随实际试验的结果而定，而试验的结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值也就有一定的概率。不但如此，随机变量在不同条件下由于偶然因素的影响，其可能取各种不一样的值，其具有不确定性和随机性。随机变量分类有离散型随机变量和连续型随机变量。用来刻画随机变量在某一方面的特征的常数就统称为数字特征。
而在本文当中，通过研究随机变量最重要也是平时用的最多的数字特征（数学期望、方差、协方差）的性质，总结出每个不同的数字特征所代表着的实际意义，加深理解数字特征对于解决实际问题的重要意义。最后，通过分析不同案例，总结出各个不同的数字特征在实际生活中的应用，达到在解决问题时的“游刃有余”，做到“知己知彼，百战百殆”。
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2数学期望
2.1数学期望的引入及定义
我们首先来看一个例子
中国体彩新推出一种福利彩票，每张彩票都对应一个兑奖号码，每卖出50万张彩票设一个开奖组，一张彩票的获奖金额概率如下
获奖金额的分布
金额（元） 0 10 50 500 5000 50000 500000
P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.000009 0.0000009 问：每张彩票售价多少时可以确保体彩中心不会亏损？
分析：要保证体彩中心不会亏损的话，每张彩票的价格不能低于每张彩票平均获得的金额，也就是说每张彩票的价格不能低于E(X)=
?xk?1nkpk=3.2 。数学期望
求解最重要的就要是先求出随机变量的分布列，所以此例中要求出购买多少次才首次中奖，则需先求出首次中奖时购买次数的分布列，如下表 次数 1 2 3 ? k ? P 0.1 0.09 0.081 ? 0.1*0.9k-1 ? 于是可以引出这种离散型随机变量的数学特征的概念
定义1：设离散随机变量X的分布列为
p(xi)=P(X=xi), i=1,2,?，n,?. 如若 则称
?xi?1?i?1??ip(xi)?? ,
E(X)??xipx(i )为随机变量X的数学期望，或者可以称之为该分布的数学期望，简称为期望或均值.假如级数
?xk?1kp(xk) 不收敛，则称X的数学期望不存在。
在以上的定义中，要求级数绝对收敛的目的是为了使数学期望唯一。这是因为随机变量的取值可正可负，取值的次序也可前可后。我们可以从无穷级数的理论知道，如果此无穷级数绝对收敛，则可保证它的和不受次序变动的影响。因为有限项的和不受次序变动的影响，所以取有限个可能值的随机变量的数学期望总
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是存在的。
以上的定义是针对离散型随机变量的数学期望，而连续型随机变量的数学期望的定义完全类似于离散型随机变量场合，只是把分布列p(xi)改为密度函数，把求和改为求积就可以了。
我们下面给出连续型随机变量的数学期望的定义
定义2：设连续型随机变量X的密度函数为p(x). 假若
-?
则称E(X)??若
??????xp(x)dx??,
xp(x)dx
为X的数学期望，或称为该分布列P（x）的数学期望，简称期望或均值。
??-?xp(x)dx 不收敛，则称X的数学期望不存在。
2.2 研究数学期望的必要性
下面我们通过一个非常著名的案例分析一下研究数学期望的必要性
分赌本问题
在17世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡（pascal）提出了一个使他想了很长时间的分赌本问题：甲、乙两位赌徒的赌技不分上下，各自赌注了50法郎，每局中没有平局，必有一胜一负。他们事先约定好，谁先赢到三局者赢得全部赌本100法郎。现在当甲赌徒赢了两局，乙赌徒赢了一局时，由于突发事件（国王要召见赌徒）要终止赌局。现在问：100法郎如何分才算公平？
这个问题提出来是引起来了很多数学家的兴趣。首先大家可以想到：要是均分的话肯定是对甲赌徒是不公平的，但如果要全部都分给甲赌徒，又对乙赌徒不太公平。所以大家想到一个比较合理的办法是，按照一定的比例，甲赌徒可以多分一些，乙赌徒可以少分一些。所以问题的关键在于：按照何种比例来分的话才能保证最大限度的公平？
考虑到公平性，假若能够继续比下去，最多的话，再有两局必结束。设A为甲获得的赌本，后面两局可能出现的情况可能就是（甲和甲）（甲和乙）（乙和甲）（乙和乙），则我们可以列出A的分布列如下
A 0 100
P 0.25 0.75 - 3 -
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根据离散型随机变量的数学期望的定义，我们可以求出随机变量A的数学期望E(A)=0*0.25+100*0.75=75.这就是说甲赌徒“期望”所得为75法郎，乙赌徒“期望”所得为25法郎。像这种分法，在考虑的过程中既考虑了已经结束了的赌局，又照顾到了可能继续赌局的可能性，体现出来一种“期望”的数学思想，于是数学期望这个定义被提了出来。
数学期望又称期望或均值,是随机变量按概率的加权平均,表达了其概率分布的中心位置所在。数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念。当时研究的概率问题大多与赌博有关。假如某人在一局赌博中面临如下的情况：在总共a＋b种等可能出现的结果中,有a种结果可赢得α,其余b种结果可赢β), 则这就是他在这局赌博中所能“期望”的收入。数学期望的这种初始形式早在1657年即由荷兰数学家C.惠更斯明确提出。它是简单算术平均的一种推广。 从上面这个经典的案例我们可以可以感觉到，随着经济不断的发展，人类对于物质财富的分配更加注重，在分配的过程中，我们又可以感觉到，我们似乎可以找寻一种规律，通过研究这种规律，我们能在物质财产分配前做出对于结果更好的预测。期望这个概念就是在最初的分赌本问题中被提出来，也是随着人类社会的发展，各种问题的深入复杂化，也就产生了随机变量其它各个数字特征的概念，人们通过研究它们的性质，预测即将要发生的结果，概率学也就会在人类社会中起到十分重要的作用。我们下面研究一下数学期望这个数字特征在现实生活中的应用。
2.3 数学期望的应用问题
2. 3．1 数学期望在经济学中的应用
通过以上我们对数学期望的概念分析，我们可以感觉到无论是从计划还是从决策层面上数学期望都起着非常大的作用，所以在一些最基础的经济学问题上，我们往往会不自觉的利用它。我们来分析几个案例
一：决策方案
决策方案就是就是将数学期望最大的方案作为最优的方案来加以决策。数学期望为经济决策提供了良好的工具。经济决策类型按其影响范围可大致上分为宏观经济决策和微观经济决策。宏观经济决策主要是指是在宏观层面上比如说国民经济的最高层次的决策。而微观经济决策就是指对局部性的某些具体问题的决策，消费者可以根据自己的有限收入决定其对各种产品的需求量。知识来源与生活，只有能解决实际问题，人类才会能动的利用知识去解决实际问题，对于数学期望这一数字特征来说，其最大的价值就是通过研究事物发展的规律，进而得出
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科学，准确的结果，所以说，研究它对于经济生活是具有十分重要的意义的。 风险规避
如果有这么一个公司，它预测自己的市场需求将会增长，而就目前来看的话，其公司员工都在每天超负荷的工作。于是公司为了满足市场需求，公司考虑是否让员工每天加班或者是添加设备的方式来提高产量，假设公司预测市场需求量增加的概率为p,同时就会有1-p的可能市场需求会下降。已知的数据可见下表： 维持现状（A1） 员工加班（A2） 添加设备（A3） 市场需求减少（1—p） 40万 39万 35万 市场需求增加（p） 44万 52万 54万 有已知条件可以判断，在市场需求增加的情况下，使员工加班或添加设备都是对公司盈利是有利的，但是现实情况是不知道哪种情况会出现，因此我们可以比较几种方案获利的期望大小，然后用期望值判断，于是就有： E(A1)=40(1—p)+ 44p. E(A2)=39(1—p)+52p E(A3)=35(1—p)+54p.
实际上，假如p=0.7,
则E(A1)=42.8(万元) E(A2)=48.1(万元) E(A3)=48.3(万元)
从结果我们可以得知，公司要想得到效益最大化，就得添加设备，扩大生产。
假如p=0.5
则E(A1)=44(万元) E(A2)=45.5（万元） E(A3)=44.5（万元） 此时公司要想达到效益最大化，可决定增加员工的工作时间。
由以上结果我们可分析得到，只要市场需求的增长可能性在50%之上，公司就必须采取一定的措施，以达到利润的增长。
2. 3．2 数学期望在体育比赛中的应用
我们都知道，体育比赛的结果往往会被很多因素决定。除了运动员自身身体素质的缘故，还有会很多其他外界因素可能会对比赛结果造成影响。譬如说比赛场地，天气原因，现场观众的干扰等等等等因素。而这些因素统称为外界因素，每场比赛运动员可能都会遇到一些或多或少的外界因素的干扰，这也是不可避免的，这就对运动员的发挥造成一些影响。所以在一些大型体育比赛开赛前，教练员会在真实水平差不多的运动员之间选择发挥更稳定的那个去参加比赛，而这里所说的稳定，就是相对的在求运动员水平的期望。
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