习题课
4.(15分) 考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。
解
f?ma
令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有
u?kx1?kx2?mx2
于是有
x1?x2
x2??kh1x1?x2?u mmm再令位移为系统的输出y，有
y?x1
写成状态空间表达式，即矩阵形式，有
?0?x1???x???k?2???m1??0?x??1??1?u h??????x2???m??m??x?y??10??1?
?x2?5. (15分) 矩阵A是2?2的常数矩阵，关于系统的状态方程式x?Ax，有
?e?2t??2e?t??1??2?x(0)???时，x???2t?；x(0)???时，x???t?。
??1???1???e???e?试确定状态转移矩阵?(t,0)和矩阵A。
解：本题中，t0=0，b=0，根据公式x(t)?eA(t?t0)xt0??eA(t??)bu(?)d?
t0t得 x(t)?ex(0)
因此，根据已知条件，可以写出下列方程
At?e?2t??2t??e
2e?t?At?12? ?e???t?-e???1?1?
?e?2tAt?e???2t??e?2e?t?e?2t2e?t??12???????t?2t-e?t???1?1??-e+e?12e?t?2e?2t??
-e?t+2e?2t?dAt(e)?AeAt证出） dt线性定常系统有?(t?t0)?A?(t?t0)，（可由?(t0?t0)?I
d?A?eAtdt
t0?0?02???? ?1?3??6. (15分)（1）设系统为
??a0??1??1?x?t???xt?ut, x(0)???????1??1?
0?b??????试求出在输入为u?t(t?0)时系统的状态响应。
(2)已知系统x??解 （1）
?01??1?x?u, y??1?1?x，写出其对偶系统。 ?????34??1??e?at??t????00??……………………………..…….……..1分 e?bt?t0x(t)???t?x(0)????t?Bu(?)dτ……….….……….……..2分
?e?at???0?a?t???0??1?t?e?????e?bt??1??0??0??1???tdτ….……..1分 ?b?t????1?e????0?at???e?at?t?e???????bt?????bt????dτ.……….…………………..…..1分
??0????e??e???at1?11?at???e?a?t?a?ae?????…………………………..…..2分 =???bt1?11?bt???e??t??e??b?bb???（2）
?0?3??1?x??x????1?u………….….……….……..2分
14????y??11?x……….………………...……….……..1分
7. (10分) 证明：状态反馈不改变被控系统的能控性。
?In0?证： ?sI?AB???sI?(A?BF)B?????FIr?