立体几何
（Ⅲ）过A作AG?DE于G，连PG， 又∵DE?PA，则DE?平面PAG,
则?PGA是二面角P?DE?A的平面角， ∴?PGA?45?，???10分
∵PD与平面ABCD所成角是30?，∴?PDA?30?， ∴AD?3，PA?AB?1．
∴AG?1，DG?在Rt?DCE中，得BE?x?3?2，设BE?x，则GE?x，CE?2?x3?x，
????23?x?2?1，
z22． ???12分
P解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一??????4分 （Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则P?0,0,1?，
?11?B?0,1,0?，F?0,,?，D?22? FA (O) By?3,0,0．
D?G xC
E 设BE?x，则E?x,1,0?
??PE?AF?(x,1,?1)?(0,11,)?0 ∴AF?PE ???8分 22??（Ⅲ）设平面PDE的法向量为m?????m?PD?0p,q,?1，由???，得：
??m?PE?0???1xm??,1?3?3?,1 ?，??而平面ADE的法向量为AP?(0,0,1),
??∵二面角P?DE?A的大小是45,所以cos45=
11x????1???13?3?3?2??22?|m?AP|??，
|m||AP|∴?12，
得BE?x?2 或 BE?x?3?2（舍）． ??????12分
归纳总结：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），
11
立体几何
这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁。 而空间向量是解答立体几何问题的有利工具，它有着快捷有效的特征，是近几年高考中一直考查的重点内容。
9. 解：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，由AD?1，CD?2，?BAD?120?，
易知CA?AD，???????2分
又SA?平面ABCD，所以CA?平面SAD, ∴SD?AC，
在直角三角形SAB中，易得SA?3，
在直角三角形SAD中，?ADE?60?，SD?2， 又SE?3ED，∴DE?可得AE?142212，
0AD?DE?2AD?DEcos60 121232?1??2???.
∴SD?AE，????????5分
又∵AC?AE?A，∴SD?平面AEC．??6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知,CA?SA,CA?AE， 可知?EAS为二面角E?AC?S的平面角，
?EAS?30，此时E为SD的中点. ?????8分
?过A作AF?CD,连结SF,则平面SAF?平面SCD, 作AG?SF,则AG?平面SCD,连结EG, 可得?AEG为直线AE与平面SCD所成的角． 因为AF?32,SA?3, 3所以AG?2?1523?155.?????10分
在Rt?AGE中，tan?AEG?AGAE?155，
12
立体几何
直线AE与平面CDE所成角的大小为arcsin155.????????12分
解法二：依题意易知CA?AD，SA?平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则易得A?0,0,0?,C? 3,0,0,D?0,1,0?,S0,0,3，
???3?，?????3分 ,??44?3???（Ⅰ）由SE:ED?3有E?0,?????????0?S?D?A?????????0??S?D?ACE易得，从而SD?平面
ACE．????????6分
(Ⅱ)由AC?平面SAD，二面角E?AC?S?EAS?30?.
的
平面角
又?ASD?30?，则 E为SD的中点，
?13?即 E?0,,,??????8分
?22????设平面SCD的法向量为n??x,y,z?
??????n?DC?3x?y?0,则????，令z?1,得n?1,3,1 ?，????10分??n?SD?y?3z?0.??13????0?1?3??1????AE?n22???从而cos?AE,n?????|AE||n|1?5155155，
所以AE与平面SCD所成角大小为arcsin．??????12分
10. 证明：（Ⅰ）∵AB?面ABC∴AB?11AC, ------1分
又AB?AC，AB?A1B?B ∴AC?面AB1B， ------3分 ∵AC?面A1AC， ∴平面A1AC?平面AB1B；------4分
（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 00?，B?0，，20?，A1?0，，22?，B1?0，，42?，C1(2,2,2) 则C?2，，?????????????AA1??0，2，2?，BC?B1C1??2，?2，0?------6分
????????????????AA?BC?41cos?AA1，BC??????1?????， ??28?8AA1?BC 13
立体几何
故AA1与棱BC所成的角是π． ------8分
3（Ⅲ）因为P为棱B1C1的中点，故易求得P?1，，32?． ------9分
??设平面PAB的法向量为n1??x,y,z?，
??????????z???x?3y?2z?0?n1?AP?0?AP?(1,3,2)A1C1则??????,由 得 ???????2y?0B1????AB?(0,2,0)?n1?AB?0??令z?1，则n1???2，0，1?------11分
???而平面ABA1的法向量n2=(1,0,0)， AxC??????????n1?n2225B则cosn1,n2???------12分 ???????y55n1n2由图可知二面角P?AB?A1为锐角
故二面角P?AB?A1的平面角的余弦值是255
------13分
11. 证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直线BD将△BCD翻折成△BC?D 可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即BC'2?C'D2?BD2，
故C'D?BD． ??2分 ∵平面BC?D⊥平面ABD，平面BC?D?平面ABD=BD，C?D?平面BC?D， ∴C?D?平面ABD 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知C?D?平面ABD，且CD?BD，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D?xyz． 6分 则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C'(0,0,6)． ∵E是线段AD的中点，
????∴E(4,3,0)，BD?(?8,0,0)．
?????????在平面BEC?中，BE?(?4,3,0)，BC'?(?8,0,6)，
z C?x B C 设平面BEC?法向量为n?(x,y,z)，
????????4x?3y?0?BE?n?0∴ ?????，即?， ???8y?6z?0???BC'?n?0?A E y D ?令x?3，得y?4,z?4，故n?(3,4,4)． 8分
设直线BD与平面BEC?所成角为?，则
14
立体几何
??????????|n?BD|341． ?9分 ?????sin??|cos?n,BD?|??41|n|?|BD|∴ 直线BD与平面BEC?所成角的正弦值为
?34141． 10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC?的法向量为n?(3,4,4)，
????? 而平面DBE的法向量为DC??(0,0,6)，
?????????????n?CD441∴ cos?n,C?D???????， ??41?|n|?|CD| 因为二面角D?BE?C?为锐角，所以二面角D?BE?C?的余弦值为44141
12. 解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF?AB
P∵AB?AD，AB?AD，AB//DC，
∴四边形ABFD为正方形， ∵O为BD的中点，
E∴O为AF,BD的交点， ∵PD?PB?2，
PO?BD∴∵BD?∴PO?AD?AB222AB， OD?22，
122F CPB?BO2?2，AO?BD?2，
在三角形PAO中，PO?AO?PA?4，∴PO?AO，4分 ∵AO?BD?O，∴PO?平面ABCD； 5分 (Ⅱ)方法1：连接PF，∵O为AF的中点，E为PA中点，
∴OE//PF，
∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，
∴OE//平面PDC. 9分
方法2：由(Ⅰ)知PO?平面ABCD，又AB?AD，所以过O分别做AD,AB的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：
EP22A(?1,?1,0)，B(?1,1,0)，D(1,?1,0)
F(1,1,0)，C(1,3,0)，P(0,0,2)，
D
15
AOByxF C