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随机过程复习题
一、填空题：
1．对于随机变量序列{Xn} 和常数a，若对于任意??0，有
limP{|Xn?a|??}?______，则称{Xn}依概率收敛于a。
n???
2．设{X(t),t?0}是泊松过程，且对于任意t2?t1?0， ，则
P{X(1)?2,X(3)?4,X(5)?6}?2?9?e?15P{X(5)?6|X(3)?4}?18e?6
P{X(1)?2,X(3)?4,X(5)?6}?P{X(1)?X(0)?2,X(3)?X(1)?2,X(5)?X(3)?2}?P{X(1)?X(0)?2}P{X(3)?X(1)?2}P{X(5)?X(3)?2}?323?2)22
32!e??(2!e?6?32!e?3?2?9?e?152P{X(5)?6|X(3)?4}?P{X(5)?X(3)?2}?62!e?6?18e?6
3．已知马尔可夫链的状态空间为I?{1,2,3}，初始分布为(1114,2,4)，
?13?0???44P(1)??111???P(7?333?，则122)?16，P{X0?1,X1?2,X2?2}?116?13???0?44??,
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?5?16?72P(2)?P(1)??36??4??48P12(2)?7167161636134841613363148????? ????
P{X0?1,X1?2,X2?2}?P{X0?1}P{X1?2|X0?1}P{X2?2|X0?1,X1?2}?P{X0?1}P{X1?2|X0?1}P{X2?2|X1?2}?14?34?13?116
4．强度?的泊松过程的协方差函数C(s,t)??min(s,t) 5．已知平稳过程X(t)的自相关函数为RX(?)?cos??，
SX(?)??[?(???)??(???)]
6. 对于平稳过程X(t)，若?X(t)X(t??)??RX(?)，以概率1成立，则称X(t)的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程X(t)的谱密度为S(?)?1?12
22?422??3??2，则X(t)的均方值
=
2S(?)???2??1?12?112?1??22 222??(2)2??1?2?2RX(?)?12e?2??12e??
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X(t)的均方值?(?)?RX(0)?2X12?12
8. 随机相位过程X(t)?acos(?t??),其中a,?为常数，?为(0,2?)上服从均匀分布的随机变量，则
?X(t)X(t??)??a2?X(t)??0，
2cos??
9．设马尔可夫链{Xn,n?0,1,2,?}的状态空间I?{0,1}，则一步转
?0.9移概率矩阵为P???0.1210.1?p(0)?(,)，，初始分布为则X2的?330.9?分布律为
P(2)?(1823002,118300)，P(X2?1,X3?1,X4?0)?0.0354
0.18?? 0.82?P(2)?P?0.82???0.1821?0.82p(2)?p(0)P(2)?(,)?33?0.180.18?182118,) ??(3003000.82?P(X2?1,X3?1,X4?0)?P(X2?1)P(X3?1|X2?1)P(X4?0|X2?1,X3?1)?P(X2?1)P(X3?1|X2?1)P(X4?0|X3?1)?118300?0.9?0.1?0.0354n
10.设X矩阵为
(n?0,1,2...)是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率
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1??1?n3P(n)????Dn??Cn??，则Cn?1?n?2?13nDn?1?12n
13．设E(X)??，D(X)??2，则由切比雪夫不等式
P(|X??|?3?)?____；
X1,X2,?Xn?14．随机变量序列
E(Xi)??,D(Xi)??2独立同分布,且
>0
n?Xi?n?i?1,2?
,则对任意实数x,limP{i?1n??n??x}?________
二、计算与证明：
1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为，晴天转雨天的概率
31为，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨
21天状态，X表示第n天的状态（0或1）。
n（1） 写出马氏链{Xn,n?1}的一步转移概率矩阵；
（2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨
天的概率各是多少？； 解：I?{0,1}，
?1?2(1)P(1)??1??31?2?1? ?3?第 5 页 共 11 页
?5?12(2) P(2)??7??187?512?11?, P(X3?0|X1?0)?p00(2)?12 ?18??173?432P(4)??259??648259?259432??P(X?0|X?0)?p(4)? 5101389, 432?648?2/301/30??2/3?，证明2/3???1/3?2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P??1/3?0?此链具有遍历性，并求其平稳分布。
?3/9?2解：P(2)?P(1)??1/9?1/9?2/94/92/94/9??4/9? 6/9??由于P(2)中不含有零元，故此链具有遍历性。
???1???2?1，即????3???1???132323?1??1??221313233???2解方程组???P和??i3
3??????1解得?1?
17,?2?27,?3124?，故平稳分布为??(,,)。 777743．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以X(n)表示经过n次交换后甲盒子中的红球数，则{X(n),n?0}是一齐次马尔可