逆变分量）
矢量为一阶张量，标量为零阶张量。
二、 二阶张量的定义
在三维空间中，组成参照标架的协变基矢量和逆变基矢量按式 gi'??ii'gi g??ig
变换，这时
1、 若在原坐标系中的九个分量Tij按式
Ti'j'??ii'?jj'Tij
变换，则这九个分量的集合定义一个二阶逆变张量。
2、
若在原坐标系中的九个分量Tij按式
iji'i'i Ti'j'??i'?j'Tij
变换，则这九个分量的集合定义一个二阶协变张量。
3、
若在原坐标系中的九个分量T?ij及Ti.j按式
i'i' T?j'??i?jj'T?ij Ti?'j'??ii'?jj'Ti?j
变换，则这九个分量T?ij或Ti.j的集合定义一个二阶混变张量。
三、 高阶张量的普遍定义
在三维空间中，构成参照标架的协变基矢量和逆变基矢量按式
gi'??ii'gi 和 g??ig
变换，这时，若在该空间有N?3个分量T??ijkl??（数字或函数系）所确定的物理量或几何量。按式
T??k'l'????ii'j'i'ri'i'i?jj'?kk'?ll'???T??ijkl??
变换，则这些物理量或几何量的集合称为r阶张量。
如全是上标，称为r阶逆变张量。 如全是下标，称为r阶协变张量。
同时具有上标和下标，则称为某阶逆变某阶协变混变张量。
张量的第二个定义
i设ai,b,……, c为r个任意矢量的分量，若N?3个分量T?k???n能将它们构成标量
knr
??T?ki???naibk???cn
i则这N个分量T?k???n的集合构成一个r阶张量。
21
张量的第三个定义
i???j如果把一个r阶张量记为T，Ti???jk???n，Ti??jk??n，T?k???n，……分别是它的逆变分量、协
变分量和各混变分量，则可记为
T?Ti???jk???ngi???gjgk???gnijkn?Tg???gg???gi???jk???n
j?T?ki??????ngi???gjgk???gn
???????这是张量的不变性记法。
四、 商法则
??ji??j如果a?ik???n与任意一个张量的乘积是一个非零张量，则a?k???n一定是一个r阶张量。
【例】已知平面直角坐标系中的应力分量?x，?y，?xy??yx试求极坐标系中应力张量的逆变、协变和混变分量。
??g21122?22?21?12??11?21?12?12??21?11?22?2?2?1?2g2g1?2?1??22?g1?1??2?1?1?1?2?1?1
变换系数为
1'?11'?cos? ?2?sin? ?12'??sin?cos?2' ?2? rr1?11'?cos? ?2? ?12'?sin? ?22'?rco?s '??rsin于是，根据张量的坐标变换求得：
逆变分量：
?rr??1'1'?cos2??x?sin2??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx
22
?????2'2'sin2?cos2?sin?cos?sin?cos?????????yx xyxy2222rrrrsin?cos?sin?cos?cos2?sin2????x??y??xy??yx
rrrr ?r???1'2' ?协变分量：
?r??2'1'sin?cos?sin?cos?sin2?cos2????x??y??xy??yx
rrrr?rr??1'1'?cos2??x?sin2??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx
?????2'2'?r2sin2??x?r2cos2??y?r2sin?cos??xy?r2sin?cos??yx
?r???1'2'??rsin?cos??x?rsin?cos??y?rcos2??xy?rsin2??yx
??r??2'1'??rsin?cos??x?rsin?cos??y?rsin2??xy?rcos2??yx
混变分量：
'22??rr???11'?cos??x?sin??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx 2'22??????sin???cos??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx ??2'xr??????12''??rsin?cos??x?rsin?cos??y?rcos2??xy?rsin2??yx
sin?cos?sin?cos?sin2?cos2???r?????x??y??xy??yx
rrrr?2'?1''22?r?r??1?1?cos???sin??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx 'x???2'22????2'?sin??x?cos??y?sin?cos??xy?sin?cos??yx ?r?1'22????2'??rsin?cos??x?rsin?cos??y?rsin??xy?rcos??yx
?
??r???2'1'sin?cos?sin?cos?cos2?sin2????x??y??xy??yx
rrrr 23