等价。T
7．设向量组I：?k1,?k2,,?ks 是向量组II：?1,?2,,?ks是向量组II：?1,?2,,?p的部分组，如果向量组I线
性相关，则向量组II也线性相关。T 8．设向量组I：?k1,?k2,,?p的部分组，如果向量组I线性
无关，则向量组II也线性无关。F
?,?s,?1,?2 线性无关，则向量组 ?1,9．如果向量组?1,10．如果向量组?1,?2,,?s 也线性无关。T
,?m 线性无关，则该向量组的任何部分组必线性无关。T
11．设向量组?1,?2,?3线性无关,于是向量组?1??2,?2??3,?3??1也线性无关。T 12．设n维向量组?1,?2,?,?s线性相关,于是?,?1,?2,?,?s也线性相关,其中?为一n维向量。T
13．若向量组?1,?2,?,?n线性相关,则?1一定可由?2,?,?n线性表示。F 14．设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可互相线性表示,则秩(Ⅰ)= 秩(Ⅱ)。T 15．设向量组?1,?2,?,?s线性相关,则该向量组中一定含有零向量。F
16．若?是AX?0的解,若?是AX?b(b?0)的解，则???是AX?b的解。T 17．包含零向量的向量组是线性相关的。T
18．若?1,?2是AX?b(b?0)的解，则?1??2也是AX?b的解。F 四、计算与证明
1??22??14?????1?2?，B?(b1,b2)??03?，验证a1，a2，a3是R3的1．设A?(a1,a2,a3)??2??42???122?????一个基，并求 b1, b2在这个基中的坐标。(先求行列式的值不等于0，再求秩=3---》线性无关。即证是基。2：设x列方程求解x。）
?2?1?11?11?21?2．设矩阵A??4?62?2??36?97
2??4?，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属4??9?于最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示。（先化成阶梯型行列式--》非零行的非零首元素的那一列即为一个最大无关组2；线性表示时需要化成最简式。） 3．已知向量组
?0??1???1??1??3??????????? A：a1??1?,a2??1?；B：b1??0?,b2??2?,b3??2?，
?1??0??1??1???1???????????证明A组与B组等价。 （秩相等就可以）
8．求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组：
?1??4??1??1??9???2?????????????2?12100?4?,a??? (2) a???,a???,a???3?。 (1) a1???,a2??1?1?2??5?3??4???1??10?3?2?????????????3?6448??????7???????9．利用初等行变换求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：
?1??0?2??110．设向量组
1201221??15?1? ?3?13?04?1?
?a??2??1??2??????????3?,?b?,?2?,?3? ?1??3??1??1?????????的秩为2? 求 a,b。
14．求下列齐次线性方程组的基础解系：
?x1?8x2?10x3?2x4?0?2x1?3x2?2x3?x4?0??(1) ?2x1?4x2?5x3?x4?0 (2) ?3x1?5x2?4x3?2x4?0
?3x?8x?6x?2x?0?8x?7x?6x?3x?0234234?1?1
15．设n阶矩阵A满足A?A? E为n阶单位矩阵, 证明R?A??R?A?E??n。
2
16．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：
?5?x1?x2?x1?5x2?2x3?3x4?11??(1) ?2x1?x2?x3?2x4?1 (2) ?5x1?3x2?6x3?x4??1
?5x?3x?2x?2x?3?2x?4x?2x?x??6234234?1?1
第五章 相似矩阵及二次型（本章看书）
一、判断题
1.线性无关的向量组必是正交向量组.( F)
2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( T ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( T )
4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( F )
5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( T ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( T ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.(T )
8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( T )
9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.(T ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( T ) 二、单项选择题
?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( A ).
?100???A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2
2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( D ).
(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( B ).
(A) A?B (B) |A|?|B| (C) A与B相似 (D) A与B合同 4. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A的特征根之一是( B ). (A) ??1*
|A|n (B) ??1|A| (C) ?|A| (D) ?|A|n
5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ B ）.
(A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量 6. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( C ).
(A)充要条件 (B)充分而非必要条件 (C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( C ).
(A) r(A)?n (B) A有n个不同的特征值 (C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A必为对称阵 8.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（ D ）.
(A) A?0 (B)存在阶阵C，使A?CTC (C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正 9．设A为n阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）. (A)A必与一对角阵合同
(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定 (C)若A与正定阵B合同，则A正定
(D) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同 10．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ C ）. (A)A可逆 (B)A正定 (C)A的所有元素为正 (D)任给X?(x1,x2,二、填空题
1. n阶零矩阵的全部特征值为____0___.
2. 若A?A，则A的全部特征值为___0或1____.
23. 设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A?A?E? 7 ?1,xn)T?0,均有XTAX?0
24. 特征值全为1的正交阵必是 单位 阵. 5. 若A???2231??12?,B????，A与B相似，则x? -17 ，y= -12
yx34????26.二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为 3（给出二次写出对应的矩阵） . 2227.若f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是 ?2?t?2 （特征值全为正）
?110???8.设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件 a》1 .
?00a2???
9．二次型f(x1,x2)?x1x2的负惯性指数是____1______. 10．二次型(x1,x2)??12??13??x1?的矩阵为 ?? . ??x??22??12??2?三、计算与证明题
;
5? 求下列矩阵的特征值和特征向量:（主对角线-x。用行列式求出x即是特征值 特征向量就是k倍的基础解系）
?0?123??2?12?(1)?5?33?; (2)?213?; (3)?0?0?336???10?2??1?????
001001001?0?. 0?0??25? 判别下列二次型的正定性?（各阶竹子式为正则正定，奇数阶主子式为负，偶数主子式为正则 负定）
(1) f??2x1?6x2?4x3?2x1x2?2x1x3? （平方的系数在主对角线x1的平方对应
2
2
2
a11，x2的平方对应a22。x1x2系数的1/2同时对应a12和a21的值 以此类推的x1x3--》a13和a31 x2x3 ……）
(2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4?
15? 已知p?(1? 1? ?1)T是矩阵A??5?2?12?a3?的一个特征向量? ??1b?2??? (1)求参数a? b及特征向量p所对应的特征值? 22? 用矩阵记号表示下列二次型:
(1) f?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz? （同上） (2) f?x2?y2?7z2?2xy?4xz?4yz?
(3) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x3?4x2x4?
24. 设f?x1?x2?5x3?2ax1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型? 求a?
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