标。设
??1???2 1????3???4??1,0,0,0????1??2,1,?1,1?????0,1,0,0????2??0,3,1,0?，?， ???0,0,1,0????5,3,2,1???3???0,0,0,1?????4??6,6,1,3????x1,x2,x3,x4?在?1,?2,?3,?4下的坐标；
??1??1,2,?10????1??2,1,?0,1?????1,?1,1,1??????0,1,2,2???2?2 2??，?， ???3???1,2,1,1????3???2,1,1,2?????4???1,?1,0,1?????4??1,3,1,2????1,0,0,0?在?1,?2,?3,?4,下的坐标；
??1??1,1,1,1????1??1,1,0,1?????1,1,?1,?1??????2,1,3,1???2?2 3???，????1,1,0,0?，
????1,?1,1,?1?3??3????4??1,?1,?1,1?????4??0,1,?1,?1????1,0,0,?1?在?1,?2,?3,?4下的坐标；
?2??1解 1?（?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4,）??1??1?056??336?=（?1,?2,?3,?4）A
121??013???1这里A即为所求由基?1,?2,?3,?4,到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，将上式两边右乘得?， ?1得 （?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）?，
于是
?x1????x2??1 ??（?1,?2,?3,?4）??=（?1,?2,?3,?4）?x?3??x??4?所以在基下的坐标为
?x1????x2??x?， ?3??x??4??x1???x?1?2? ???， x?3??x??4??4??9?1?这里??1=27?1??37????2713490?19?1?1301311??9?23??27?。 2???3?26??27??2?令e1?(1,0,0,0),e2?(0,1,0,0),e3?(0,0,1,0),e4?(0,0,0,1)则 1?1?1??1??2?12?1??（?1,?2,?3,?4）=(e1,e2,e3,e4)?=(e1,e2,e3,e4)A，
?1110????0111????2??1（?1,?2,?3,?4）=(e1,e2,e3,e4)?0??1?0?21??113?=(e1,e2,e3,e4)B，
211??222??将(e1,e2,e3,e4)=（?1,?2,?3,?4）A?1代入上式,得
?1（?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）AB，
这里
?3??13?5???1=?132???133????13?13131?133132?136133134137?13??5??13??14??13?,A?1B=?1?01????013??8??13?001??101?， ?111?010??且AB即为所求由基?1,?2,?3,?4,到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，进而有
?1??1??????0??0????1,0,0,0?=(e1,e2,e3,e4)??=（?1,?2,?3,?4）A?1??
00?????0??0??????3???13??5???? =（?1,?2,?3,?4）?13?，
2????13?3??????13?所以?在?1,?2,?3,?4下的坐标为?523??3,,?,??。
1313??13133?e1,e2,e3,e4同2?，同理可得 ?12?1111?????11?11?1?1?A=?B=,?031?11?1?????11?1?1?11????10??11? ?0?1?01???1111???11?1?11????1=?,
41?11?1????1?1?11???则所求由?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为
?3??4?14??1B=??1???41???4741?4341?41212001???4?3?4?。 1???4?1???4?再令??a?1+b?2+c?3+d?4，即
??1??1????2??2?1,0,0,0???a,b,c,d?????a,b,c,d????13????0?????4?11??131?， ?100?1?1?1??0由上式可解得?在下的坐标为?1,?2,?3,?4下的坐标为 ?a,b,c,d????2,???13??4,????a?1。 22?10．继第9题1）求一非零向量?，它在基?1,?2,?3,?4与?1,?2,?3,?4下有相同的坐标。
解 设?在两基下的坐标为x1,x2,x3,x4，则
???x1??x1?????x?2??x2? ?=（?1,?2,?3,?4）??=（?1,?2,?3,?4）??。
xx?3??3??x??x??4??4?又因为
?2??1 （?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）??1??1?所以
056??336?=（?1,?2,?3,?4）A，
121??013???x1??x1??x1???????xx?2??2??x2? ??=A???（A - E）??=0。
xxx?3??3??3??x??x??x??4??4??4?又
1 A?E?05623601211112301?1111?0,且?111?0，
于是只要令x4??c,就有
?x1?2x2?3x3?6c? ??x1?x2?x3?c，
?x1?x3?2c?解此方程组得
x1,x2,x3,x4=?c,c,c,?c? (c为任意非零常数)， 取c为某个非零常数c0，则所求?为
??c0?1?c0?2?c0?3?c0?4。
11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。 证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设V1,V2都是线性空间V的子空间，且V1?V2，证明：如果V1的维数与V2的维数相
??等，那么V1?V2。
证 设dim(V1)=r，则由基的扩充定理，可找到V1的一组基a1,a2,.....ar,，因V1?V2，且它们的唯数相等，故a1,a2,.....ar,，也是V2的一组基，所以V1=V2。
13．A?Pn?n。
1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）； 2）当A=E时，求C（A）；
?1?2?3）当A=?..........................???????时，求C（A）的维数和一组基。 ?n??证 1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A， 故 B+D?C(A)。若k是一数，B?C(A)，可得 A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A， 所以kB?C(A)。故C(A)构成P2）当A=E时，C（A）=Pn?nn?n子空间。
。
3）设与A可交换的矩阵为B=（bij），则B只能是对角矩阵，故维数为n,E11,E22,...Enn即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解 若记
?100??000????? A=?010???000??E?S，
?001??311??????a?并设B=?a1?a?2bb1b2c??c1?与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由 c2??bb1b2c??0??c1???0?c2???3a?a1?a2003b?b1?b2??0?， 3c?c1?c2??0?000??a???SB=?000??a1?311??a???2