专题升级训练13 直线与圆
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )． A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2－4y＝0的圆心，则a的值为( )． A．－1 B．1 C．2 D．－2
3．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2
的方程为( )．
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
5．(2012·四川凉山州二模，10)若直线y＝kx(k≠0)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且点C(3,0)．若点M(a，b)满足MA＋MB＋MC＝0，则a＋b＝( )．
24
A． B． C．2 D．1
33
6．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x－kx－y＋2≥0，??
y＝0对称，动点P(a，b)在不等式组?kx－my≤0，
??y≥0
表示的平面区域内部及边界上运动，则
b－2
W＝的取值范围是( )．
a－1
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
7．(2012·江苏南京二模，7)已知圆C经过直线2x－y＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y2＝8x的焦点，则圆C的方程为__________．
8．(2012·江西八校联考，文15)在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”，则圆(x－4)2＋(y－3)2＝4上一点与直线x＋y＝0上一点的“折线距离”的最小值是__________．
9．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为__________．
三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
11．(本小题满分15分)已知两圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0，C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明此两圆相切；
(2)求过点P(2,3)，且与两圆相切于点T(1,0)的圆的方程．
12．(本小题满分16分)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程． (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A 解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，
11
所以kl＝－＝－＝1．
kPQ
4－2
1－3
又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0． 2．D 解析：求出圆心的坐标，将圆心坐标代入直线方程即可． 3．A
4．B 解析：圆心C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为C2(2，－2)，故选B． 5．D 解析：将y＝kx代入x2＋y2＝1并整理有(k2＋1)x2－1＝0， ∴x1＋x2＝0．
∵MA＋MB＋MC＝0，∴M为△ABC的重心． x1＋x2＋3y1＋y2
∴a＝，b＝，
33
x1＋x2＋y1＋y2＋3(1＋k)(x1＋x2)＋3
故a＋b＝＝＝1．
336．D 解析：圆方程可化为
?x＋k?2＋?y＋m?2＝1(k2＋m2＋16)． ?2??2?4
km?－?－?－?＝0，???2??2?由已知?
??k＝－1，解得k＝－1，m＝－1， x＋y－2≤0，
??
∴不等式组为?x－y≥0，
??y≥0，表示的平面区域如图．
b－2
∴W＝表示动点P(a，b)与定点Q(1,2)连线的斜率．
a－1
于是可知，W≤kAQ，或W≥kOQ，即W≤－2，或W≥2．故选D． 二、填空题
7．x2＋y2－x－y－2＝0 解析：直线与坐标轴的两交点分别为A(－1,0)，B(0,2)，抛物线焦点坐标为F(2,0)．
再运用待定系数法即可求出圆C的方程．
8．7－22 解析：设P在直线l：x＋y＝0上，Q在圆上．根据不等式|a|＋|b|≥|a＋b|，可得d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|≥|(x1－x2)＋(y1－y2)|＝|(x1＋y1)－(x2＋y2)|，当且仅当(x1－x2)(y1－y2)≥0时等号成立．由于点P在直线l上．所以x1＋y1＝0，所以d(P，Q)≥|x2＋y2|．又由点Q在圆上，可设x2＝4＋2cos α，y2＝3＋2sin α，α∈[0,2π)，所以d(P，Q)≥|x2＋y2|＝|4＋2cos α
π5π
α＋?≥7－22，当且仅当α＝时等号成立，此时x2＝4－2，y2＋3＋2sin α|＝7＋22sin??4?4＝3－2．
9．6－1 解析：如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，
设圆心的坐标为(a,0)(a＜3)，则圆的方程为(x－a)＋y＝(3－a)2，与抛物线方程y2＝2x联
2
2
立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1．
三、解答题
10．解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1． 则圆C的半径为32＋(t－1)2＝3．
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
??x－y＋a＝0，
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组?
22
?(x－3)＋(y－1)＝9，?
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0． 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0． a2－2a＋1
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝．①
2由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0．
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0．② 由①②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1． 11．解：(1)两圆的方程可分别化为
C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝13，C1(－2,2)，r1＝13； C2：(x－4)2＋(y＋2)2＝13，C2(4，－2)，r2＝13．
∴圆心距|C1C2|＝213＝r1＋r2，即两圆外切． (2)设所求圆的方程为C3：(x－a)2＋(y－b)2＝r32． ∵T(1,0)在C1，C2，C3上，
2
∴圆心(a，b)在直线lC1C2：y＝－(x－1)上，
3
2
∴b＝－(a－1)．①
3
又由|C3P|＝|C3T|，得(a－2)2＋(b－3)2＝(a－1)2＋b2．②
10
由方程①②，解得a＝－4，b＝，
3
325
∴r32＝(a－1)2＋b2＝，
9
10325y－?2＝． 故所求圆的方程为(x＋4)2＋??3?912．解：(1)方法一：依题意，点P的坐标为(0，m)． 0－m
因为MP⊥l，所以×1＝－1．
2－0解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)． 从而圆的半径 r＝|MP|＝
(2－0)2＋(0－2)2＝22．
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8． 方法二：设所求圆的半径为r， 则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2．
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
4＋m2＝r2，
?
则?|2－0＋m|
?2＝r，
??m＝2，解得?
?r＝22.?
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8． (2)因为直线l的方程为y＝x＋m， 所以直线l′的方程为y＝－x－m．
??y＝－x－m，
由?得x2＋4x＋4m＝0．
2??x＝4y，
Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．
①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切； ②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．