。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 变更命题法在数学归纳法中应用
数学归纳法在高考试题中，常以解答题形式出现，最常见的是用数学归纳法证明数列不等式，这虽然是一个行之有效的基本证题方法，但运用这种方法证明数列不等式时，有好多时候在证k到(k＋1)的过程中，卡了壳，断了思路，这是一种普遍现象．而此时证明与原不等式等价的命题倒显得轻松自然．下面介绍几例． 一、转化等价命题
转化等价命题的目的，首先是使问题明朗化，从而便于寻求解题途径或者简化解题过程．
例1 已知数列{an}满足：a1?⑴求数列{an}的通项公式；
⑵证明：对一切正整数n，不等式a1·a2·…·an＜2n!恒成立． 分析：⑵据①得an=
3nan?13，且an=(n≥2，n?N*)．
2an?1?n?12n1?13n，所以有a1·a2·…·an=
n!，
111(1?)(1?2)?(1?n)333为证a1·a2·…·an＜2n!，即证
n!＜2n!，
111(1?)(1?2)?(1?n)3331111)(1－2)…(1－n)＞． 3233两边同除n!再变形，只要证n?N*时有(1－
但是，由于变形后的不等式右边是一个与n无关的常数，若用数学归纳法证明，从k到(k＋1)右边常量不变，左边在变，这样，无法使用归纳假设．根据不等式的传递性，此时若把右边的
11用含有变量n的、比大的、且与左边有着密切联系的式子代替，就可以直22接使用数学归纳法了．
1121=1－=＞； 33321111111151(1－)(1－2) = 1－(＋2)＋＞1－(＋) =＞， 223333333923∵1－
1
111111)(1－2)…(1－n)≥1－(＋2＋…＋n) =1－33333311n111n1[1－()] =＋·()＞． 232232∴猜想对每个n?N*，(1－解：⑴将条件变为：1－
n1n?1n=(1－)，因此，{1－}为一个等比数列， an3an?1an其首项为1－
11n11=，公比为，从而有1－=， a13an3n3n?3n据此得an=n(n≥1)．①
3?1⑵据①得a1·a2·…·an=
n!，
111(1?)(1?2)?(1?n)333为证a1·a2·…·an＜2n!，
1111)(1－2)…(1－n)＞．② 3233显然，左边每个因式皆为正数，先证明，对每个n?N*，
只要证n?N*时有(1－(1－
111111)(1－2)…(1－n)≥1－(＋2＋…＋n)．③ 333333用数学归纳法证明③式： ⒈当n = 1时，③式显然成立， ⒉设n = k时，③式成立，即(1－则当n = k＋1时，
111111)(1－2)…(1－k)≥1－(＋2＋…＋k)， 3333331111)(1－2)…(1－k)(1－k?1) 33331111≥[1－(＋2＋…＋k)](1－k?1)，
333311111111=1－(＋2＋…＋k)－k?1＋(＋2＋…＋k)k?1
333333331111≥1－(＋2＋…＋k＋k?1)．
3333(1－
则当n = k＋1时，③式也成立． 故对一切n?N*，③式都成立．
2
11[1?()n]1111113 利用③得，(1－)(1－2)…(1－n)≥1－(＋2＋…＋n) =1－313333331?311n111n1= 1－[1－()] =＋·()＞．
232232故②式成立，从而结论得证．
评析：在用数学归纳法证明数列不等式时，需要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题，探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键．这就说，为方便用数学归纳法证明不等式，有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明不等式问题中经常用到． 二、强化命题结论
如果c是与n无关的常数，用数学归纳法证明f(n)＜c (或f(n)＞c)一类不等式时，从k到(k＋1)的归纳过渡最容易卡壳断思路．此时利用limg(n)= c且g(n)＜c (或g(n)n??＞c)把命题结论强化，即把c换成g(n)．
例2 设n?N*，求证：
11111＋＋＋…＋＜．⑴ 2(2n?1)925494分析：此题直接用数学归纳法⑴时，从k到(k＋1)思路肯定受阻．原因在于2是一个常数，从k到(k＋1)右边常量不变，左边增加一项正数整个和式在变大，这样是无法使用归纳
11换成一个n有关的，且比大的一个式子，才能使用数学归纳法再44n借用不等式的传递性完成证明．由于lim=1是大家十分熟悉的结论，就利用这一结论，
n??n?1假设证明的，只有把显然limn??nn111=，并且当注意到n = 1时，＜=，也满足要求．因此不妨
4(n?1)4984(n?1)把结论⑴强化为：
1n111＋＋＋…＋＜． ⑵
(2n?1)24(n?1)92549证明：①当n = 1时，不等式⑵成立． ②设n = k (k≥1)时不等式⑵成立，即么，当n = k＋1时，
3
1k111＋＋＋…＋＜，那2(2k?1)4(k?1)9254911k1k111＋＋＋…＋＋＜＋＜＋222(2k?1)(2k?3)4(k?1)(2k?3)4(k?1)925491k?11k11111= ·＋(－) =(1－) =．
(2k?2)(2k?4)4(k?2)k?24k?14k?1k?24即当n = k＋1时，不等式⑵成立．所以有
1n1111＋＋＋…＋＜＜． 2(2n?1)4(n?1)492549评析：由于归纳假设也随之加强，这样强化了的命题更易于归纳法证明． 三、寻找过渡条件
在证由k到(k＋1)的证明过程中，要学会从问题的条件或结论出发，寻找出原题未明确给出的某些结论，且这些结论又正是从k到(k＋1)时所必需的，这样证题思路才会畅通．
例4 设0＜a＜1，a1= 1＋a，an?1=思路受阻过程：
由0＜a＜1，a1= 1＋a＞1是显然的．
设n = k (k≥1)时不等式成立，即ak＞1，那么，当n = k＋1时，ak?1=
1+ a，求证：an＞1对一切n?N*都成立． an1＋a， ak因为ak＞1，
1＜1， ak1＋a推不出ak?1＞1，这样，从k到(k＋1)思路受阻． ak所以由递推式ak?1=受阻原因分析： 由于ak?1=
1＋a，ak出现在分母上，要得到ak?1成立，归纳过渡所必需的条件是，ak寻找出ak小于某个数值．
即要证ak?1=
11+ a＞1，势必要证ak＜对一切n?N*都成立，这样，问题转化ak1?a1对一切n?N*都成立． 1?a4
成只需用数学归纳法证明：1＜an＜
证明：①当n = 1时，a1= 1＋a＞1，而1－a2＜1，1＋a＜立．
②设n = k (k≥1)时不等式成立，即1＜ak＜
11，即1＜a1＜成1?a1?a1，那么，当n = k＋1时， 1?aak?1=
1＋a＞1－a＋a = 1， ak11＜1，ak?1=＋a＜1＋a， akak11，所以ak?1＜1＋a＜． 1?a1?a1，故不等式an＞1对一切n?N*都成立． 1?a而ak＞1，
因为1－a＜1，1＋a＜
2由(i)、(ii)知1＜an＜
评析：有些要证的数列不等式难于处置或没有思路时，可考虑是否将命题变换一下，换一些与之相关的命题，也就是寻找过渡命题，从而获得解决问题的办法．
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