第3讲 二项式定理
一、选择题
1． (4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 C．15
B．－15 D．20
x6－r
解析 Tr＋1＝Cr(－2－x)r 6(4)
－xr＝Cr22x(6－r)·(－1)r·＝Cr(－1)r·212x－3xr 6·6·
4令12x－3xr＝0，则r＝4，所以T5＝C6＝15，故选C.
答案 C
1?n?5x－??的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N2．设
x??＝240，则展开式中x的系数为 A．－150
B．150
( )．
C．300 D．－300
解析 由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
4－r?－?Tr＋1＝Cr(5x)4
?
3r1?r
r4－rr4－
?＝(－1)5C4x2， x?
3r
令4－2＝1，得r＝2，T3＝150x. 答案 B
?a?3．已知?x－x?8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系
??数的和是 A．28
( )．
B．38 C．1或38 D．1或28
解析 由题意知C4(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数8·和为(1－a)8＝1或38. 答案 C
?21?5
4．在?2x－x?的二项展开式中，x的系数为
??A．10
B．－10
( )．
C．40 D．－40
1?r25－r?r5－rr10－3r
－??解析 因为Tr＋1＝Cr(2x)＝C2·(－1)x，所以10－3r＝1，所以55?x?
35－3
r＝3，所以x的系数为C52(－1)3＝－40.
答案 D
5．已知0
B．9
C．11
D．－12
( )．
解析 作出y＝a|x|(a>0)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C1011＝－2＋11＝9. 答案 B
6．(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( ) A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6 C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5
解析 不含x的项的系数的绝对值为(1＋|b|)n＝243＝35，不含y的项的系数的绝对值为(1＋|a|)n＝32＝25，
?1＋|b|＝3，∴n＝5，?再验证选项知应选D.
1＋|a|＝2.?答案 D 二、填空题
1?18?
x－??的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)． 7．
?3x?解析
18－r?－?Tr＋1＝Crx18
?
31?r3rr?1?r18－r
?＝(－1)C18?3?x2，令18－r＝15，解得r＝2.
2??3x?
所以所求系数为(－1)答案 17
2
2?1?2
·C18?3?＝17.
??
8．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
5－r2
解析 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝Cr·(－1)r，T3＝C5(1＋5(1＋x)
x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10. 答案 10
1??
9．若?3x－?n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．
x??
1?n?3x－?的展开式各项系数之和为64，令x＝1，得2n＝64，故n解析 ?
x??＝6，
r6－r6－rr
则Tr＋1＝Cr·3·x·(－1)·x－6
22 ＝(－1)rCr36－r·x3－r， 6·令3－r＝0得r＝3.
故常数项为(－1)3C333＝－540. 6·答案 －540
a??
10．设二项式?x－?6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，
x??则a的值是________．
?－a?3
?r6－r?rrr6－r解析 由Tr＋1＝C6x?1?＝C6(－a)x2，
x?2?
422
得B＝C46(－a)，A＝C6(－a)，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
答案 2 三、解答题
?31?
11．已知二项式?x＋?n的展开式中各项的系数和为256.
x??(1)求n；(2)求展开式中的常数项．
12nn
解 (1)由题意，得C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝256，即2＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为
3
Tr＋1＝Cr8(
x)
8－r
84r8－4r?1?rr
?x?＝C8··x3，令3＝0，??
－
得r＝2，此时，常数项为T3＝C28＝28.
?11?12．设?5x2－x3?n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝
??992.
(1)判断该展开式中有无x2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由； (2)求此展开式中有理项的项数．
解 令x＝1得M＝4n，而N＝2n，由M－N＝992，
得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0， 故2n＝32，n＝5.
1?kk?1?5－k?kk5－k5－kkkk5－k15－k?5x2??－x3?＝(－1)C5·(1)Tk＋1＝C5·5·x·x＝(－1)·C5·5·x ?
?
?
?
2
3
6
15－k
由题意，令6＝2，解得k＝3，故含x2项存在． 它的系数为(－1)3·C355－3＝－250. 5·15－k
??6∈Z
(2)展开式中的有理项应满足?0≤k≤5
??k∈Z一项有理项．
?1621?5
13．已知(a＋1)展开式中的各项系数之和等于?5x＋?的展开式的常数项，
x??
2
n
，故k只能取3，即展开式中只有
而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
162?5－r?1?r?16?5－rr20－5r?1621?5?r
??＝??C5x2，解 ?5x＋?的展开式的通项为Tr＋1＝C5?5x?·???x??5?x??162n
令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C4×＝16.又(a＋1)展开式的各项系5
5数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n
4
展开式中系数最大的项是中间项T3，故有C24a＝54，解得a＝±3.
?1?14．已知?2＋2x?n，
??
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
652
解 (1)∵C4n＋Cn＝2Cn，∴n－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5. ?1?4335∴T4的系数为C37?2?2＝， 2???1?34T5的系数为C47?2?2＝70， ??
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8. ∴T8的系数为
7?1?77
C14?2?2＝3 432.
??
122
(2)∵C0n＋Cn＋Cn＝79，∴n＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大， ∵??1?2＋2x??12?＝??1?2??12
?
(1＋4x)12， ∴?kkk－1k－1?C124≥C124，?Ck124k≥Ck ∴12＋14k＋1.
9.4≤k≤10.4，∴∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C1012·??1?2??2?
·210·x10＝16 896x10.
k＝10.