基于小波变换的数字图像处理
摘 要：本文先介绍了小波分析的基本理论，为图像处理模型的构建奠定了基
础，在此基础上提出了小波分析在图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等图像处理方面的应用,最后在MATLAB环境下进行仿真，验证了小波变化在图像处理方面的优势。
关键词：小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像增强
引 言
数字图像处理是利用计算机对科学研究和生产中出现的数字化可视化图像信息进行处理，作为信息技术的一个重要领域受到了高度广泛的重视。数字化图像处理的今天，人们为图像建立数学模型并对图像特征给出各种描述，设计算子，优化处理等。迄今为止，研究数字图像处理应用中数学问题的理论越来越多，包括概率统计、调和分析、线性系统和偏微分方程等。
小波分析，作为一种新的数学分析工具，是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展，小波分析在图像处理及其相关领域所发挥的作用也越来越大。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。但短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行，所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。
本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等,本文重点在图像去噪，最后用Matlab进行了仿真[1]。
1小波分析理论
小波分析的思想最早出现在1910年Haar提出了小波规范正交基。1981年，Stromberg对Haar系进行了改造，为小波分析奠定了基础。1986年Meyer和Lemarie提出了多尺度分析的思想。后来信号分析专家Mallat提出了多分辨分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法——Mallat算法。Mallat算法的提出标志着小波理论获得突破性进展，从此，小波分析从理论研究走向了应用研究。通过小波分析，可以将各种交织在一起的由不同频率组成的混合信号分解成不同频率的块信号，能够有效地解决诸如数值分析、信号分析、图像处理、量子理论、地震勘探、语音识别、计算机视觉、CT成像、机械故障诊断等问题。
1.1 小波及小波变换
小波的核心作用是用小波及其伸缩和平移来表示函数和信号，不但具有局部化时频分析能力，而且时间分辨率和频率分辨率均可以调整。
?(?)，当??(?)满足允许条件（完全定义：设 ?(t)?L2(R),其傅立叶变换为?重构条件或恒等分辨条件）
?(?)?d?< ? C????R2时，我们称?(t)为一个基本小波或母小波。将母函数?(t)经伸缩和平移后得
?a,b(t)?1a?(t?b) a,b?R;a?0 a称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数
f(t)?L2(R)的连续小波变换为
Wf(a,b)??f,?a,b??a其重构公式（逆变换）为 f(t)??1/2?Rf(t)?(t?b)dt a1C?1t?bW(a,b)?()dad b??????a2fa??把连续小波变换中的尺度参数a和平移参数b进行离散化：a?a0j，
b?ka0jb0，其中j?Z,为了方便起见，总是假设a0>0，则得到离散小波函数
?j,k(t)?a相应的离散小波变换
?j/20t?ka0jb0?j/2?j?()?a?(a00t?kb0) ja0?a/2?jWf(a,b)??f,?a,b(t)??a0f(t)?(at?kb0)dt 0?R其重构公式为
?a/2?aWf(a,b)??f,?a,b(t)??a0f(t)?(at?kb0)dtf(t)?0?Ra,b?Z??f,?a,b??a,b(t)
由于基小波?(t)生成的小波?a,b(t)在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以?(t)还应该满足一般函数的约束条件
?????(t)dt〈?
?(?)是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式, ??(?)在原故?点必须等于0，即
?(0)???(t)dt?0 ????为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除完全重构条件外，还要求小波
?(2?j?)?B ?(t)的傅立叶变化满足下面的稳定性条件： A??????2式中0〈A?B〈?。
1.2常用小波基介绍[3]
(1)Haar小波
Haar于1990年提出一种正交函数系,定义如下：
?H0?x?1/2?1????1 1/2?x?1 ?0其它??这是一种最简单的正交小波，即
????(t)?(x?n)dx?0 n??1,?2,…
(2)Daubechies（dbN）小波系
该小波是Daubechies从两尺度方程系数?hk?出发设计出来的离散正交小波。一般简写为dbN，N是小波的阶数。小波?和尺度函数中的支撑区为2N-1。?的消失矩为N。除N＝1外(Haar小波)，dbN不具对称性(即非线性相位)，没有显式表达式(除N＝1外)。但?hk?的传递函数的模的平方有显式表达式。假设
P(y)??CkN?1?kyk，其中，CkN?1?k为二项式的系数，则有
k?0N?1
m0(?)?(cos22?2)NP(sin2?2)
12N?1?ik?其中 m0(?)??hke
2k?0(3)SymletsA（symN）小波系
Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN（N=2，3，…，8）的形式。
1.3 双尺度关系与分解关系
?(t)与?(t)的两尺度关系：
???(t)??pn?(2t?n)??n???????(t)??qn?(2t?n)?n?????(t)与?(t)的分解关系：
?(2t?l)??{al?2n?(t?n)?bl?2n?(t?n)}l?0,?1,?2,?
n???
an:?1bn:?12g?n2h?n其中
?1.4 小波进行分解与重构
?(t)??(2t)??(2t?1)两尺度函数的两尺度关系是 由两尺度关系，得序列 p0?1,p1?1再由 qn? (?1) np?n ?1,得 q0?1,q1??1?(t)??(2t)??(2t?1)则有小波函数的两尺度关系是
进一步得分解关系
11
?(2t)???(t)??(t)??(2t?1)???(t)??(t)? 2 2由分解算法 ?ck,n??al?2nck?1,l?l ??dk,n??bl?2nck?1,l l? 1?c?ac?ac?ck?1,0?ck?1,1??0k?1,01k?1,1得 ?? k,02? 1?d?bc?bc?ck?1,0?ck?1,1??k,00k?1,01k?1,1 ??2
由重构算法 ck ?1,n??(ck,lpn?2l?dk,lqn?2l)l得
ck?1,0 ?ck ,0p0?dk,0q0?ck,0?dk,0ck?1,1?ck,0p1?dk,0q1?ck,0?dk,0
2 图像处理的模型分析
2.1 图像的数学模型
物体反射或投射的物质能量在空间上的分布在数学上可以表述为一能量场 E(x,y,z,λ,t)，其中x，y，z表示在几何空间中点的坐标，λ为辐射波长，t为时刻。适当选取坐标系使取图平面垂直于z轴，设截距为Z0，图像可看作只是记录在平面z=z0上的能量分布[2]，实际中这种物质能量的记录值往往用亮度值表示。则
f(x,y)?g[E(x,y)]
[4]
式中x，y为像平面中点的坐标。
图像的数学模型是一个二元函数f(x,y)，它反映了图像上点坐标f(x,y)与该点上的能量值之间的对应关系。对于一幅灰度照片，它上面点的明暗程度需用不同的数值代表。图像在某点处的函数值称为图像在该点的灰度或亮度。由于f的值是能量的记录，故其是非负有界的实数，即
0?f(x,y)?A
一幅实际图像的尺寸是有限的，一般定义(x,y)在某一矩形域中，即有
??Lx?x?Lx ??L?y?Ly?y2.2 图像处理的小波模型
通常情况下，图像处理可以被抽象为一个输入—输出系统，即以各种形式的算符Q来对图像F进行处理，算符Q的形式决定于图像处理的目的以及图像F的数学模型
Q0?????????Q
Image Processing Operator T其中，T代表图像处理算子，如去噪、锐化、分割，压缩或图像修复。输入数据Q0可以是一幅图也可以是图像序列，输出数据Q是所有希望得到的图像性质。图像处理的两个基本问题是作为输入的Q0和算子T的建模，它们是相对独立但又紧密相连的：算子T的性能很大程度上取决于输入数据的模型。为了能够有效地处理图像，首先需要知道如何从数学的角度理解和表示图像。图像模型和它的表示方法在很大程度决定了图像的处理模型。把图像看作像素点集合的基础上，以像素点集合为基础的数学模型可表达三种不同的模型，即随机场模型，小波模型和正则空间模型，它们分别从概率统计、小波分析和偏微分程这三方面来