§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法
定理12.13设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S, 则任意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.
*证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.
第一步设级数(5)是正项级数, 用Sn表示它的第n 个部分和. 用
?m?v1?v2???vm表示级数(7)的第m个部分和. 因为级数(7)为级数
(5)的重排, 所以每一vk(1?k?m)应等于某一uik(1?k?m).记n?max{i1,i2,?im},数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
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克雷判别法
则对于任何m,都存在n，使?m?Sn.由于limSn?S,所以对任何正整数m,都有?m?S,n??即级数(7)收敛, 且其和??S.由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有
S??, 从而得到??S. 这就证明了对正项级数定理成立.
第二步证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数
且绝对收敛,则由级数(6)收敛第一步结论, 可得
?vn收敛, 即级数(7)是绝对收敛的.
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克雷判别法
第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 所以先要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令
un?unun?un. (8)pn?,qn?22当un?0时,pn?un?0,qn?0;当un?0时,pn?0,qn?un??un?0.从而0?pn?un,0?qn?un, (9)pn?qn?un,pn?qn?un. (10)数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
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克雷判别法
由级数(5)绝对收敛, 及(9)式, 知?pn,?qn都是收敛的正项级数. 因此
S??un??pn??qn.对于级数(5)重排后所得到的级数(7), 也可按(8)式的办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差
???qn?,?vn??pn?,?qn?分别是正项级数?pn,?qn的重排,显然?pn其和不变, 从而有
?v??p???q???p??qnnnnn?S.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3 一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
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克雷判别法
注定理12.13只对绝对收敛级数成立. 条件收敛级数重排后得到的新级数不一定收敛,即使收敛, 也不一定收敛于原来的和.更进一步, 条件收敛级数适当重排后, 既可以得到发散级数,也可以收敛于
?n?11条件收敛,任何事先指定的数.例如级数???1?nn?1设其和为A, 即
11111111?(?1)n?1?2?3?4?5?6?7?8???A.1乘以常数后,有2n?1数学分析第十二章数项级数高等教育出版社