向量组的线性相关性----习题课
如何正确理解线性相关（无关）的定义
判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。
(1)若有不全为0的数?1,?2,?,?m使
?1a1????mam??1b1????mbm?0
成立,则a1,?,am线性相关, b1,?,bm亦线性相关. 解：错。原式可化为?1(a1?b1)????m(am?bm)?0
取a1?e1??b1,a2?e2??b2,?,am?em??bm 其中e1,?,em为单位向量,则原式成立, 而a1,?,am；b1,?,bm均线性无关。
(2)若向量组a1,a2,?,am是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。 解 错。
反例1：设a1?e1?(1,0,0,?,0)，a2?a3???am?0 满足a1,a2,?,am线性相关, 但a1不能由a2,?,am,线性表示. 反例2：a1?(1,0,0)，a2?（?1,0,0)，a3?(0,0,1)
(3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。 解：不一定。因为任何一个向量组都有一个性质： 系数全为0的线性组合一定是零向量。
若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关； 否则线性无关。
(4)若a能表示为a??1a1????mam 则向量组a1,?,am,a线性相关. 解：正确。
(7) 若有一组不全为0的数?1,?2,?,?m使
λ1α1???λmαm?0成立,则a1,?,am线性无关.
解：错。任何一组数满足上式才行。
(6) 若?1??2????m?0时，有
λ1α1???λmαm?0成立,则a1,?,am线性无关.
解：错。将“若?? ”改为“只有??”，结论才正确。 反例：a1?(1,0,0)，a2?（0,1,0)，a3?(1,1,0)，线性相关； b1?(1,0,0)，b2?（0,1,0)，b3?(0,0,1)，线性无关。
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（5）若向量b不能由向量组a1,?,am线性表出， 则向量组b,a1,?,am线性无关。 解：不一定。 反例1：a1?(0,0,0)，a2?（1,1,1)，b?(1,0,0)，线性相关；
（1,1,1)，b?(1,0,0)，线性无关。 反例2：a1?(0,1,0)，a2?正确命题为：如果a1,?,am线性无关， 且向量b不能由向量组a1,?,am线性表出， 则向量组b,a1,?,am线性无关。
其逆否命题为：设a1,?,am线性无关， 而向量组b,a1,?,am线性相关，则
B可由a1,?,am线性表出，且表示法唯一。
（8）若零向量只能用唯一的方式表示成向量组a1,?,am的线性组合， 则a1,?,am线性无关。 解：正确。
（9）若只有当?1,?2,?,?m全为0时,等式
?1a1????mam??1b1????mbm?0
才能成立,则a1,?,am线性无关, b1,?,bm亦线性无关. 解：由?1a1????mam??1b1????mbm?0 (仅当?1????m?0)
?a1?b1,a2?b2,?,am?bm线性无关，但若 取a1?a2???am?0 取b1,?,bm为线性无关组
满足以上条件,但不能说是a1,a2,?,am线性无关的.
(10)若a1,?,am线性相关, b1,?,bm亦线性相关, 则有不全为0的数, ?1,?2,?,?m使
?1a1????mam?0,?1b1????mbm?0
同时成立. 解： a1?(1,0)T a2?(2,0)T b1?(0,3)T b2?(0,4)T
?1a1??2a2?0??1??2?2??3? ??1??2?0与题设矛盾.
?1b1??2b2?0??1???2?4?
如何证明两向量组等价 1. 根据等价的定义证之。
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例1：向量组与其最大无关组等价。
例2：两等价的向量组中分别任取一个最大无关组，证明这两个最大无关组等价。
例3：设向量b可由向量组a1,?,ar线性表出，但b不能由向量组a1,?,ar?1线性表出，试证 向量组（I）a1,?,ar与向量组（II）a1,?,ar?1，b等价。
2. 对于具体两向量组，可利用初等变换，证明它们等价。
方法：先对（I，II）进行初等行变换，将I化为等价标准形，看II是否能被I表示； 再地（II，I）进行初等行变换，将II化为标准形，看I是否能被II表示。
如何证明向量组相关（或无关）
1．设b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,证明向量组
b1,b2,b3,b4线性相关.
证明 设有x1,x2,x3,x4使得 x1b1?x2b2?x3b3?x4b4?0则
x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a4)?x4(a4?a1)?0 (x1?x4)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?(x3?x4)a4?0 (1) 若a1,a2,a3,a4线性相关, 则存在不全为零的数k1,k2,k3,k4, k1?x1?x4;k2?x1?x2;k3?x2?x3;k4?x3?x4;
由k1,k2,k3,k4不全为零,知x1,x2,x3,x4不全为零,即b1,b2,b3,b4线性相关.
?x1?x4?0?1001??x1???????x1?x2?0?1100??x2?(2) 若a1,a2,a3,a4线性无关,则????0 ????x2?x3?0?0110??x3??0011??x??x?x?0???4?4?310011100由?0知此齐次方程存在非零解 01100011则b1,b2,b3,b4线性相关.
综合得证.
2．设b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?a2???ar,且向量组
a1,a2,?,ar线性无关,证明向量组b1,b2,?,br线性无关. 证明 设k1b1?k2b2???krbr?0，则
(k1???kr)a1?(k2???kr)a2???(kp???kr)ap???krar?0 因向量组a1,a2,?,ar线性无关,故
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?k1?k2???kr?0?k2???kr?0???????????kr?0?1??1?1??1??k1??0????????01?1??k2??0??????????????
?????0?01?????k?????r??0?01?1因为?1?0故方程组只有零解
????0?01则k1?k2???kr?0所以b1,b2,?,br线性无关
3．设a1,a2,?,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,?,en能 由它们线性表示, 证明a1,a2,?,an线性无关. 证明 n维单位向量e1,e2,?,en线性无关 不妨设:
e1?k11a1?k12a2???k1nane2?k21a1?k22a2???k2nan
????????????en?kn1a1?kn2a2???knnanTT?e1??k11k12?k1n??a1??T????T??e2??k21k22?k2n??a2?所以 ???? ?????????????????aT??eT??kk?kn2nn??n??n??n1两边取行列式，得
TTTTk11k12?k1na1e1e1a1TTTTk21k22?k2na2e2e2a2由??0??0
????????TTTTkn1kn2?knnanenenan即n维向量组a1,a2,?,an所构成矩阵的秩为n 故a1,a2,?,an线性无关.
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