24、超额录取留学生的策略 众所周知，选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。
通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：
（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；
（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。 当前的情况为：
学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。 学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。 签证被拒的比例在上升。
所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。 问题：
（1）如果奖学金经费C确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。 （2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？
25、高考志愿选择策略
一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。 假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。 考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表 相关权数 北京甲 上海乙 成都丙 重庆丁 校誉 名校自豪感 0.22 0.75 0.7 0.65 0.6 录取风险 0.198 0.7 0.6 0.4 0.3 年奖学金 0.024 0.6 0.8 0.3 0.7 就业前景 0.133 0.8 0.7 0.85 0.5 生活环境 离家近 0.061 0.2 0.4 1 0.8 生活费用 0.064 0.7 0.3 0.9 0.8 气候环境 0.032 0.5 0.6 0.8 0.6
学习环境 专业兴趣 0.132 0.4 0.3 0.6 0.8 师资水平 0.034 0.7 0.9 0.7 0.65
可持续发展 硕士点 0.064 0.9 0.8 0.75 0.8 博士点 0.030 0.75 0.7 0.6 0.5
经过建模计算，给出志愿排序的合理决策。
26、服务机构劳务安排的优化设计
在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。例如，交通管理人员、医院医护人员、宾馆服务人员、超市卖场营销人员等。在不同的时段劳务需求量不同，主管单位在不同时段支付的劳务工资往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支是管理者必须思考的决策问题。现就某公司超市卖场营销人员工作安排问题建立一个
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数学模型来进行优化设计，使得既要满足公司超市卖场需要，又使公司的劳务开支最少。 超市卖场的营业时间是上午8点到21点，以两小时为一时段，各时段内所需的服务人员数如表1，每个营销人员可在任一时段开始时上班，但要连续工作8小时，中途需要1小时的吃饭和休息时间。为保证营业
时间内都有人值班，公司安排了四个班次，其班次与休息时间安排如表2，在不同时段的工资标准不同，上午8点到17点工作的人员月工资为1200元，中午12点到21点工作的人员月工资为1500元。
序号 时间区间 最少需求人数 1 8：00－10：00 30 2 10：00－12：00 35 3 12：00－14：00 20 4 14：00－16：00 40 5 16：00－18：00 30 6 18：00－20：00 25 7 20：00－21：00 20 表2
班次 工作时间 休息时间 月工资
1 8：00－17：00 12：00－13：00 1200 2 8：00－17：00 13：00－14：00 1200 3 12：00－21：00 16：00－17：00 1500 4 12：00－21：00 17：00－18：00 1500
进一步讨论对8点至17点和12点至21点分别安排更多的班次其劳务支出的变化。
27、人类的演化
观察地球生物发展的大历史，似乎看得出来，有些原始生物演化速度很慢，几千万年来表面都没有改变，至今仍然存在，例如银杏树，腔棘魚、鱟等生物，称为活化石。据此推论越早期的生物若是演化的越慢，其生存的年代越长。假设平均而言，随生物种类的不同，一种生物会以每百万年累积0.5--1000个致死基因，当致死基因累积达3000个以上，其灭绝的概率会超过0.75，当致死基因累积达5000个以上，其灭绝的概率会超过0.95。据此而言，人类（智人，Homo sapiens约2-3万年前出现，是很晚才出现的物种）未来的演化速度如何？何时该灭绝？请建立一个数学模型来讨论上述问题。
28、火车弯道缓和曲线问题
火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F，在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接部，列车受到的离心力由零突变到F，会损坏线路和车辆，并使乘车人感到不适，甚至发生危险。为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，即把弯道上的外轨抬高一定高度，使列车倾斜，这样产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行。为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到F，外轨超高也从零逐渐增大到h。所加曲线称为缓和曲线。
现有一处铁路弯道，原转弯半径R=400m，适应列车时速 120km∕h。由于火车提速，要求将此弯道改为适应列车时速200 km∕h，并要求将原长200 m的缓和曲线一并进行改造。试讨论下面问题：
（1）求缓和曲线方程。
（2）若要求外轨超高不改变，缓和曲线应如何改造？ （3）若外轨超高可以改变，缓和曲线又应如何改造？
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29、人力资源安排问题
“pe公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。
表1 公司的人员结构及工资情况
高级工程师 工程师 助理工程师 技术员人数 日工资（元）
9 10 17 5 250 200 170 110
目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在a地和b地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在c地和d地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。
表2 不同项目和各种人员的收费标准 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 收费（元/天）
a 1000 1500 1300 1000 b 800 800 900 800
c 600 700 700 700 d 500 600 400 500
为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：
表3：各项目对专业技术人员结构的要求
高级工程师 工程师 助理工程师 技术员
a 总计1～3 ≥2 ≥2 ≥1 ≤10 b 总计2～5 ≥2 ≥2 ≥3 ≤16 c 总计 2 ≥2 ≥2 ≥1 ≤11
d 总计1～2 2～8 ≥1 -- ≤18 说明：
1、 表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；
2、 项目d，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加； 3、 高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求； 4、 各项目客户对总人数都有限制；
5、 由于c、d两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。
由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？
30、飞越北极
今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：
7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。
假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原
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来的航线飞经以下10处：
A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)； A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度); A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)； A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)； A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。
请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：
（1） 设地球是半径为6371千米的球体；
（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。 31、“南水北调”水的分配
南水北调中线工程建成后，预计2010年的调水量为110亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平。生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40％、38％和22％。下表是2000年各城市基本状况的统计数据，可以看出，各城市的人口数量差异很大，各城市的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，相同的供水量所产生的经济效益也不同。
城市 城市 工业 综合服务业产值 (m3)万元工业 (m3)万元综合服务业 总数(万人) 年自然 (亿元) 年 (%)人均产值 年增长率
序号 人口 产值 人均生活用水量 增加值用水量 用水量(m3) 增长率(‰)增加值 增长率 (万元) (%)
1 1285 2.04 737 11.1 1.16 13.2 160 143 354 2 682 3.03 739 11.7 0.83 12.2 140 72 209 3 56 9.15 193 10.0 0.30 10.0 180 102 245 4 87 5.90 268 12.5 0.23 12.1 360 96 325 5 46 5.87 480 9.8 0.22 8.6 315 110 185 6 78 6.12 256 7.6 0.20 7.6 318 120 178 7 218 5.41 464 10.2 0.44 11.8 235 86 267 8 52 4.50 189 10.9 0.15 12.0 315 131 165 9 81 3.69 721 10.0 0.22 11.4 320 126 230 10 83 6.61 110 6.9 0.16 11.7 310 186 320 11 42 8.00 36 9.6 0.18 12.3 320 210 220 12 41 6.10 97 8.7 0.14 13.5 352 170 174 13 72 6.01 104 10.3 0.22 8.9 280 205 160 14 128 6.92 67 8.0 0.18 9.4 310 180 250 15 220 5.12 310 12.9 0.53 10.2 220 88 164 16 78 6.56 72 11.1 0.17 9.2 320 210 180 17 90 6.61 114 8.8 0.18 8.4 310 189 155 18 32 6.44 106 10.0 0.12 11.3 340 210 165 19 58 4.60 83 9.0 0.15 10.3 280 200 148 20 121 5.90 211 10.4 0.13 8.8 320 180 202 全国平均 10.7 9.9 0.23 7.8 219 610 288
请你从保障人民生活用水和经济发展的角度，给出2010年的调水量的分配方案。应注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在10年内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡
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32、铅球投掷模型 众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？
哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。 参考数据资料如下：
表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩
姓名 出手速度 出手高度 出手角度 实测成绩 李梅素 13.75 1.90 37.60 20.95 李梅素 13.52 2.00 38.69 20.30 斯卢皮亚内克 13.77 2.06 40.00 21.41
表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据
姓名 成绩s(m) 出手速度 出手角度 出手高度 李梅素 19.40 13.16 40.27 2.02 李梅素 20.30 13.51 38.69 2.00 黄志红 20.76 13.58 37.75 2.02 隋新梅 21.66 13.95 39.00 2.04 李梅素 21.76 14.08 35.13 1.95
33、按揭还款
银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法．有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱．所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清． 1．请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有无好坏之分； 2．是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论；
34、医疗保障基金额度的分配
某集团下设四个子公司：子公司A、子公司B、子公司C和子公司D。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。四个子公司各年度的医疗费用支出见表1。
为进一步规范各个子公司的医疗保障计划，集团董事会规定，在2003年底,各个子公司均需以银行活期存款的方式，设立医疗保障基金，基金专门用于支付2004年度雇员的医疗费用。 并规定每个子公司的医疗保障基金只能用于支付本子公司雇员。已知2004年银行活期存款利率为1%。
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