离散数学复习题及参考答案

《离散数学II－抽象代数》复习题

一 单项选择题

1、设集合S={a,b}，*运算如下定义。是代数系统的是（ A ）。 * a b * a b * a b * a b a a a a a a,b a a b a b 无 b a a b a,b b b b e b b a

2、关于代数系统的某个二元运算*的幺元，说法正确的是（ A ）。 A．幺元不一定存在 B．若幺元存在，不一定唯一

C．除非幺元存在且*运算满足结合律，幺元才唯一 D．幺元一定不是零元

3、已知代数系统和满同态，S∩S1=Φ。若中存在幺元x，则（ B ）。

A．一定存在幺元，幺元还是x B．一定存在幺元，幺元不是x C．不一定存在幺元 D．一定不存在幺元

4、下列代数系统不是群的是（ C ）。 ．A． S={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法 B． S是有理数，*是一般的加法 C． S是有理数，*是一般的乘法 D． S是整数，*是一般的加法

5、关于群正确的说法是（ C ）。 A．群一定存在零元 B．群一定不存在零元 C．群一定存在幺元 D．群一定不存在幺元 二 填空题

1、一个代数系统，如果 ?a,b∈S,a*b=b*a/?a,b,c∈S,(a*b)*c=a*(b*c)，则*满足交换律/结合律。

1

2、一个代数系统，如果 ?a,b,c∈S,a*(b+c)=(a*b)+(a*c)且 (b+c)*a=(b*a)+(c*a)，则*对+满足分配律。

3、设是群，对?a,b∈G，填写以下证明过程每步的理由。

-1-1-1-1

(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*(a) *满足结合律 =e 逆元定义、幺元定义

4、设是环，0是环的加法幺元、乘法零元。对?a,b∈R，-a表示a的加法逆元。填写以下证明过程每步的理由。

(-a)·b=(-a)·b+(a·b+(-(a·b))) a·b+(-(a·b))=0, (-a)·b+0

=(-a)·b

=((-a)·b+a·b)+(-(a·b)) +满足结合律 =((-a)+a)·b+(-(a·b)) ·对＋满足分配律 =0·b+(-(a·b)) (-a)+a＝0 =-(a·b) 0·b=0,0+(-(a·b))=(-(a·b)) 三 计算题

1、设S={a,b,c,d,e}，S上的运算*运算表如下： * a b c d e a a a c b d b a b c d d c c c b b d d b d b e d e d d d d d （1）*是否有零元？ 无零元。

（2）*是否有幺元？ 无幺元。

（3）每个元素是否有逆元？

因为无幺元，所以每个元素都无逆元。 （4）*是否满足交换律？

因为运算表是对称矩阵，所以*满足交换律。

2、S={a,b,c }，构造群，并使a为幺元。 （1） 给出*的运算表； * a

a a 2

b b c c b c b c c a a b 技巧：首先完成幺元的各行、列，然后根据b、c互为逆元，完成b*c=a，c*b=a，最后根据运算表每行都要出现所有元素完成b*b=c，c*c=b。 （2） 写出各个元素的阶；

因b3=a，c3=a，所以b、c的阶都是3。 （3） 找出的所有子群； 2个子群：<{a},*> <{a,b,c},*>

（4） 该群是否是循环群？若不是，说明理由；若是，找出所有的生成元。 是循环群。b和c都是生成元。

3、设<{a,b,c,d},+,*>是环，+和*由以下两表定义。 + a b c d * a b c d a a a a a b a c a c c a a a a d a c a a a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c 判断： （1）该环是否是可交换环？

因*运算满足交换律，所以是可交换环。 （2）是否是含幺环？

因*运算没有幺元，所以不是含幺环。

（3）是否是含零因子环？如果是，找出所有零因子。

*运算有零元a，因b*c=a，c*d=a，因此有零因子b、c、d。

四 证明题

1、设有幺元a、零元b，并且S的元素个数大于1。证明零元b一定无左、右逆元。

此题实际是课本P211定理10.5的证明。

3

2、设f、g都是到的同态，并且*、+都满足交换律和结合律，如下定义的函数h：A?B h(x)=f(x)+g(x)

证明：h是到的同态。 此题是课本P220第5题的作业。

证明：为证h是到的同态，根据同态定义，需证明

对?a,b∈A，有 h(a*b)=h(a)+h(b)。 根据h定义，h(a*b)=f(a*b)+g(a*b) 根据f是到的同态，f(a*b)=f(a)+f(b)

根据g是到的同态，g(a*b)=g(a)+g(b) 于是h(a*b)=f(a)+f(b)+g(a)+g(b) =(f(a)+g(a))+ (f(b)+g(b)) (*、+满足交换律和结合律) =h(a)+h(b) (h函数的定义) 3、设为群，定义集合S={x|x∈G∧?y(y∈G?x*y=y*x)}。证明为的子群。

此题是课本P236第10题作业。

证明：为证为的子群，需证明以下3点： （1）G的幺元e∈S；

（2）若a,b∈S，则a*b∈S； （3）若a∈S，则a-1∈S。 也可以只证明（2）、（3）。

（1）因为G是群，所以G存在幺元e。 对?y∈G，e*y=y*e=y，所以e∈S。

（2）若a,b∈S，则对?y∈G，(a*b)*y=a*(b*y) （*满足结合律） =a*(y*b) （根据b∈S） =(y*b)*a （根据a∈S） =y*(b*a) （*满足结合律） =y*(a*b) （根据a,b∈S） 所以a*b∈S。

（3）若a∈S，则对?y∈G，a-1*y= a-1*(y-1)-1 =(y-1*a)-1 (群性质，见定理11.10) =(a*y-1)-1(根据a∈S) =(y-1)-1*a-1(群性质，见定理11.10) =y*a-1 所以a-1∈S。

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