左=
?h?hx2dx?231312h，右=h?(?h)2?h?(h)2?h3?左 1分 32233令f(x)?x3 左=
13134433h?(?h)?h?(h)??h?左 1分 ，右=xdx?0??h2239h即公式的代数精度为2次 1分
5、解：
使用欧拉法计算公式为
yn?1?yn?hf(xn,yn)?yn?h(xn?yn)?(1?h)yn?hxn?1.5yn?0.5xny1?1.5y0?0.5x0?1.5?1?0.5?0 2分 ?1.500y2?1.5y1?0.5x1 ?1.5?1.5000?0.5?0.5 2分
6分
?2.500四、综合题（每小题10分，共20分） 1、解：
y(xn?1)?y(xn)???yn?1xn?1xnf(x,y(x)dx?h[f(xn,y(xn))?f(xn?1,y(xn?1))]2h?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]2 4分
阶次的证明：
即证y(xn?1)?yn?1?O(h3)
y(xn?1)?y(xn)?y?(xn)h?y??(xn)2h?O(h3) (1) 2分 2hyn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]
2令yn?y(xn)，右边的yn?1?y(xn?1)
hyn?1?y(xn)?[f(xn,y(xn))?f(xn?1,y(xn?1))]2y??(xn)h???y(xn)?[y(xn)?y(xn)?h?O(h2)] (2) 2分 21y??(xn)2?y(xn)?y?(xn)h?h?O(h3)2(1)－(2),得
y(xn?1)?yn?1?O(h3) 2分
2、 证明：
显然
l0(x0)?1,l0(x1)?0,l0(x2),...l0(xn)?0 2分 l0[x0,x1,?xk]??l0(xi)l0(x0)1 2分 ?????(x0)(x0?x1)(x0?x2)?(x0?xk)i?0?(xi)k则l0(x)的牛顿插值多项为：
Nn(x)?1?(x?x0)(x?x0)(x?x1)(x?x0)(x?x1)...(x?xn?1) ??...?(x0?x1)(x0?x1)(x0?x2)(x0?x1)(x0?x2)...(x0?xn)2分
又因为l0(n?1)(x)?0，故有
(n?1)l(?)l0(x)?Nn(x)?0(x?x0)(x?x1)...(x?x)?0 2分
(n?1)!所以有
l0(x)?Nn(x)?1?(x?x0)(x?x0)(x?x1)(x?x0)(x?x1)...(x?xn?1) ??...?(x0?x1)(x0?x1)(x0?x2)(x0?x1)(x0?x2)..x.0(?xn) 2分