考场精彩(3) （3）数学精英解“数列”题
1．（广东卷第5题）已知数列｛an｝的前n项和Sn?n2?9n，第k项满足５＜ak＜８，则k=
（A）9 （B）8 （C）7 （D）6
解答： B 此数列为等差数列，an?Sn?Sn?1?2n?10，由5<2k-10<8得到k=8.
2．（天津卷第8题）设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k?（ ） Ａ．2 Ｂ．4
Ｃ．6
Ｄ．8
解答： 由题意得，an=（n+8）d,a2k?a1a2k, ∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4. 答案为B.
3．（湖北卷第6题）若数列{an}满足
2an?12an?p(p为正常数，n?N*),则称{an}为“等方比
数列”.
甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列.则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解答：
an?1??p，所以此数列{an}并不是等比数列；若{an}是等比数列，则an22an?12an?1?an?1?2????q，数列{an}是等方比数列. ?a??n?答案为B.
【说明】 1，2，4，8，-16，-32，??是等方比数列，但不是等比数列. 4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且
An7n?45a，则使得n为整数的正整数n的个数是 ?Bnn?3bnA.2 B.3 C.4 D.5 解答： 运用中值定理，S2n?1?(2n?1)an.
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an?2n?1?anA2n?17?2n?1??4514n?38????bn?2n?1?bnB2n?12n?2?2n?1??3?7n?1912?7?n?1n?1
an可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时，为正整数.
bn答案为D. 5．（辽宁卷第4题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27 解析1：设等差数列首项为a1，公差为d，
3?2?3a?d?9,1??2则??6?5?6a?d?36.1?2??a?1, 解得??1d?2.?∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×(1+7×2)=45.
解析2：由等差数列的性质知：
S′3=S6-S3=36-9=27，d′=S′3-S3=27-9=18. ∴S〞3=S3+2d′=9+2×18=45. 答案为B.
6．（福建卷第2题）数列{an}的前n项和为Sn，若an?A．1
B．
1，则S5等于（ ）
n(n?1)1 305 6 C．
1 6 D．
解答： 由an?111，得an??，
n(n?1)nn?1S5?a1?a2?a3?a4?a51??12??215??1???.66??答案为B.
7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列?an?的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则?an?的公比为 ．
解法一：将S2=（1+q）S1,S3=（1+q+q2）S1代入4S2?S1?3S3，得3q2?q?0.
???1??????????????
1??13??31??14??41?5? - 2 -
注意到q≠0,得公比q=.
解法二：由题设得4S2?S1?3S3,即4(a1?a2)?a1?3(a1?a2?a3), 化简得a2=3a3，故公比q=
13a31?. a23a31?. a23解法三：由4S2=S1+3S3，得S2-S1=3（S3-S2）,即a2=3a3,故公比q=
，2，3，…． 8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列?an?中a1?2，an?1?(2?1)(an?2)，n?1（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?中b1?2，bn?1?3bn?4，2，3，…， ，n?12bn?3，2，3，…． 证明：2?bn≤a4n?3，n?1解答：（Ⅰ）解法1：由题设：
an?1?(2?1)(an?2)
?(2?1)(an?2)?(2?1)(2?2) ?(2?1)(an?2)?2， an?1?2?(2?1)(an?2)．
所以，数列an?2是首项为2?2，公比为2?1的等比数列，
??an?2?2(2?1)n，
即an的通项公式为an?n2，3，…． 2?(2?1)?1???，n?1，解法2：设an?1?t?(2?1)(an?t), 整理得an?1?(2?1)an?(2?2)t. 由已知an?1?(2?1)an?2(2?1) 比较系数得t??2.
∴an?1?2?(2?1)(an?2).
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即数列an?2是以首项为a1?2?2?2,公比为2?1的等比数列. ∴an?（n∈N+） 2?2(2?1)n，
??（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n?1时，因2?2，b1?a1?2，所以
2?b1≤a1，结论成立．
（ⅱ）假设当n?k时，结论成立，即2?bk≤a4k?3， 也即0?bk?2≤a4k?3?3． 当n?k?1时，
bk?1?2?3bk?4?2
2bk?3?(3?22)bk?(4?32)
2bk?3(3?22)(bk?2)?0，
2bk?311??3?22，
2bk?322?3?又
所以 bk?1?2?(3?2b2k?)(2bk?3
2)?(3?22)2(bk?2) ≤(2?1)4(a4k?3?2) ?a4k?1?2．
也就是说，当n?k?1时，结论成立．
，2，3，…． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知2?bn≤a4n?3，n?1解法2：由bn?1?于是
3bn?43b?4(3?22)(bn?2) ,得bn?1?2?n?2?2bn?32bn?32bn?3 - 4 -
1bn?1?2令
?2bn?3(3?22)(bn?2)?(3?22)(2bn?3)bn?2?(3?22)2bn?2?2(3?22)1bn?2?cn,得cn?1?(3?22)2cn?2(3?22),
有cn?1??22??. ?(3?22)2?c?n?44???∵c1?21232 ???1?444b1?2?2?32∴数列?cn?，公比为（3+22）2的等比数列. ?是以首项为1+
4?4?2?n?124?32?∴cn?, ??3?22????44??bn?12222?2??2??2?2. 2n?14n?2cn(3?22)?1(2?1)?1又a4n?3?2(2?1)4n?3?2,
∴要证明bn?a4n?3， 只需证明????2?1?4n?2?1?(2?1)4n?3?2.而
???2?14n?2?1?(2?1)4n?3?(2?1)????????2?1??2?1??4n?3?(2?1)4n?3
?2?1?(2?1)4n?3?2?1?1?2?2,综上所得2?bn?a4n?3.
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