第四节 数系的扩充与复数的引入
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．
(对应学生用书第76页)
[基础知识填充]
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． →(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2. 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi→
OZ＝(a，b)．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
z1a＋bi?a＋bi??c－di?ac＋bdbc－ad④除法：z＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
c＋di?c＋di??c－di?c2＋d2c2＋d22(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋
复平面内的点Z(a，b)
平面向量
1
z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)在复平面内，原点是实轴与虚轴的交点．( )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )
[答案](1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2. (教材改编)如图4-4-1，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
图4-4-1
A．A C．C
B．B D．D
B [共轭复数对应的点关于实轴对称．]
3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
C [∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．
故选C.]
4．(2017·全国卷Ⅱ)A．1＋2i C．2＋i D [
3＋i
＝( ) 1＋i
B．1－2i D．2－i
3＋i?3＋i??1－i?3－3i＋i＋1
＝＝＝2－i.
21＋i?1＋i??1－i?
2