3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( ) A．m，n，p共线 B．m与p共线 C．n与p共线
D．m，n，p共面
解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a， 即m＋n＝2p，即p＝11
2m＋2n，
又m与n不共线，所以m，n，p共面． 答案：D
2．已知正方体ABCD-A→1→→→→→
1B1C1D1中，A1E＝4A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则( )
A．x＝1，y＝1
2
B．x＝1
2，y＝1
C．x＝1，y＝1
3
D．x＝1，y＝1
4 解析：→AE＝AA→A→→1→
1＋1E＝AA1＋4A1C1
＝AA→1→→11＋4(AB＋AD)，所以x＝1，y＝4.
答案：D
3．已知空间向量a，b，且→AB＝a＋2b，→BC＝－5a＋6b，→
CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D
D．A，C，D 解析：∵→BD＝→BC＋→CD＝2a＋4b＝2→
AB，∴A，B，D三点共线． 答案：A
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( ) ①→OA＋→OD与OB→→
1＋OC1是一对相反向量； ②→OB－→OC与OA→→
1－OD1是一对相反向量；
③→OA＋→OB＋→OC＋→OD与OA→→→→
1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量； ④OA→→→→
1－OA与OC－OC1是一对相反向量．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
精 品 试 卷
) 1
精 品 试 卷
答案：C
→3→1→1→
5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点( )
488A．不共面 B．共面 C．共线
D．不共线
解析：∵314＋8＋1
8＝1，
∴P，A，B，C四点共面． 答案：B
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若→AD＝2→DB，→CD＝1→→
3CA＋λCB，
则λ＝________.
解析：→CD＝→CB－→DB＝→CB－1→→1→→2→1→
3AB＝CB－3(CB－CA)＝3CB＋3CA，
又→CD＝1→3CA＋λ→CB，所以λ＝2
3. 答案：2
3
7.如图，已知空间四边形ABCD中，→AB＝a－2c， →
CD＝5a＋6b－8c，对角线分别为E、F，则→
EF＝________(用向量a，b，c表示)．
解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则→EF＝→EG＋→
GF ＝1→1→2AB＋2
CD ＝12(a－2c)＋1
2(5a＋6b－8c) ＝3a＋3b－5c. 答案：3a＋3b－5c
8．设e是空间两个不共线的向量，若→AB＝e→
1，e21＋ke2，BC＝5e1＋4e2， →
DC＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.
解析：∵→BC＝5e，→
1＋4e2DC＝－e1－2e2， ∴→BD＝→BC＋→
CD＝5e1＋4e2＋e1＋2e2＝6e1＋6e2.
AC，BD的中点
2
精 品 试 卷
→
又AB＝e1＋ke2，∵A，B，D三点共线，
→→
∴存在实数u，使AB＝uBD，即e1＋ke2＝6ue1＋6ue2，
??1＝6u，
∵e1，e2不共线，∴?
??k＝6u，
∴k＝1.
答案：1
→→→
9.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，
N，P分别是AA1，
BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)→AP；(2)A→→1N；(3)MP. 解析：(1)∵P是C1D1的中点， ∴→AP＝AA→→D→→1→1＋A11＋D1P＝a＋AD＋2D1C1
＝a＋c＋1→2AB＝a＋c＋1
2b.
(2)∵N是BC的中点，
∴A→→→→1→
1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC
＝－a＋b＋1→1
2AD＝－a＋b＋2c.
(3)∵M是AA1的中点， ∴→MP＝→MA＋→AP＝12
A→A＋→
1AP
＝－1?
1?112a＋??
a＋c＋2b??＝2a＋2b＋c.
10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，＝2
3
DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若→EF＝xAB→＋yAD→＋zAA→
1，求x＋y＋z的值． 解析：(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体， ∴AA→→→→1＝BB1＝CC1＝DD1， ∴→BE＝13AA→→2→1，DF＝3
AA1，
∴AC→→→→→→1→2→
1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋3AA1＋3
AA1
且BE＝1
3
BB1，DF3
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?→1→??→2→?→→→→→→
＝?AB＋AA1?＋?AD＋AA1?＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF，由向量共面的充分必要条件知A，E，C1，F四点共面．
3??3??
→→→→→→→→2→→1→→→1→→→→→
(2)∵EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，又EF＝xAB＋yAD＋zAA1，∴x＝
33311
－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
33
[B组 能力提升]
1．若a，b是平面α内的两个向量，则( ) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确． 答案：D
2．已知向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－kd.若a与b共线， 则实数k的值为( ) A．0 B．1 C．－1
解析：∵c，d不共线，∴c≠0，且d≠0.
∵a与b共线，∴存在实数λ，使得a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－kd)， 整理得(k－λ)c＋(1＋λk)d＝0.
??k－λ＝0
∴?2
??1＋λk＝0
2
2
2
D．2
，解得k＝λ＝－1.故选C.
答案：C
→→→→
3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________. →→→→→→→→
解析：如图，A1B＝B1B－B1A1＝B1B－BA＝－CC1－(CA－CB) ＝－c－(a－b)＝－c－a＋b. 答案：－c－a＋b
4．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB， AC，M，N分别
为OA，BC的中点，点别为________．
G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分
→1→→
解析：由题意知OM＝OA，ON＝
21→→→→→(OB＋OC)，MN＝ON－OM 2
→→1→→1→
＝(OB＋OC)－OA，又MG＝2GN， 22
→→→→→→
4
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→2→1→1→1→∴MG＝MN＝－OA＋OB＋OC，
3333→→→1→1→1→1→
故OG＝OM＋MG＝OA－OA＋OB＋OC
23331→1→1→
＝OA＋OB＋OC， 633111∴x＝，y＝，z＝. 633111答案：，，
633
5.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别→→
点，判断CE与MN是否共线．
解析：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.
22→→→→→
又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1→→→1→＝－CA＋CE－AF－FB，
22
→1→→1→1→→→1→→→→∴2MN＝CA＋AF＋FB－CA＋CE－AF－FB＝CE，即CE＝2MN.
2222→→
∴CE与MN共线．
6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量共面向量．
→→→→1→→1→
证明：法一 EF＝EB＋BA1＋A1F＝B1B－A1B＋A1D1
22→1→→1→→
＝(B1B＋BC)－A1B＝B1C－A1B. 22
→→→
由向量共面的充分必要条件知，A1B，B1C，EF是共面向量． 法二 连接A1D、BD， 取A1D中点G， 连接FG、BG， 1
则有FG綊DD1，
2
形，
是AC、BF的中
A1B，B1C，EF是
→→→
BE綊DD1，
∴FG綊BE.
5
12
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∴四边形BEFG为平行四边形． ∴EF∥BG. ∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD， →→→
∴A1B，B1C，EF都与平面A1BD平行， →→→
∴A1B，B1C，EF共面．
6