§1.1.1 正弦定理
学习目标 1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程 一、课前准备
试验：固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动．
思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， abc有?sinA，?sinB，又sinC?1?， cccabc从而在直角三角形ABC中，． ??sinAsinBsinC
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
ab有CD=asinB?bsinA，则， ?sinAsinBccbab同理可得，从而． ???sinCsinBsinAsinBsinC
类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
cab． ??sinAsinBsinC试试：
（1）在?ABC中，一定成立的等式是（ ）． A．asinA?bsinB B.acosA?bcosB
AC. asinB?bsin D.acosB?bcosA
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA， ，c?ksinC；
cacabcb（2）等价于 ，，． ????sinAsinBsinCsinCsinBsinAsinC（3）正弦定理的基本作用为：
bsinA①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?；b? ．
sinBa②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB；sinC? ．
b（4）一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．
※ 典型例题
例1. 在?ABC中，已知A?45?，B?60?，a?42cm，解三角形．
变式：在?ABC中，已知B?45?，C?60?，a?12cm，解三角形．
例2. 在?ABC中，c?6,A?45?,a?2,求b和B,C．
变式：在?ABC中，b?3,B?60?,c?1,求a和A,C．
三、总结提升 ※ 学习小结
cab ??sinAsinBsinC2．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． ※ 知识拓展 abc???2R，其中2R为外接圆直径. sinAsinBsinC1. 正弦定理：
学习评价 ※ 当堂检测
1．根据下列条件，解△ABC.
ooo
(1)已知b=4，c=8， B=30； (2)已知B=30，b=2，c=2 ； (3)已知b=6，c=9，B=45.
2. 在△ABC中，解三角形
o o
(1)a=3，b=2，A=30； (2)a=2， b=2，A=45；
o o
(3)a=5，b=2，B=120； (4)a=3，b=2，B=45.
3.在△ABC中，a:b:c=1:3:3，求2sinA?sinB的值.
sinC
cosAb?，则?ABC是（ ）. cosBaA．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 5. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶3 D．2∶2∶3 4. 在?ABC中，若
6. 在△ABC中，若sinA?sinB，则A与B的大小关系为（ ）.
A. A?B B. A?B C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定 7. 已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，则a:b:c= ．
a?b?c8. 已知?ABC中，?A?60?，a?3，则= ．(合比性质)
sinA?sinB?sinC
o
9. 在△ABC中,a=5,b=3,C=120,则sinA:sinB的值是（ ）
5335A. B. C. D. 357710.已知△ABC外接圆半径是2cm，A=60,求BC边长.
11.在△ABC中，a2tanB?b2tanA，试判断△ABC的形状.
12.已知acosA?bcosB，试判定△ABC形状. o
课后作业 1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120?，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．