充分条件与必要条件·典型例题
能力素质
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的
[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换．
解 ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．
因此选A．
说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是
[ ]
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价．
解 对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p对C．p
q但qq且q
p，p是q的充分非必要条件； p，p是q的必要非充分条件；
对D．p?q且q?p，即p?q，p是q的充要条件．选D．
说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．
例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的
[ ]
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 通过B、C作为桥梁联系A、D．
解 ∵A是B的充分条件，∴AB① ∵D是C成立的必要条件，∴CD②
∵C是B成立的充要条件，∴C?B③
由①③得AC④ 由②④得AD．
∴D是A成立的必要条件．选B． 说明：要注意利用推出符号的传递性．
例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的
[ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定．
解 解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．
∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A．
说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．
当且仅当A?B时，甲为乙的充分条件；当且仅当A?B时，甲为乙的必要条件；
当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件． 例5 设A、B、C三个集合，为使A
(B∪C)，条件AB是
[ A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．
∴A
(B∪C)．
但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时， 显然A
(B∪C)，但A
B不成立， 综上所述：“AB”“A
(B∪C)”，而
“A(B∪C)”
“A
B”．
即“A
B”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．选A．
说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：
]
]
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根； (4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1． 其中p是q的充要条件的有
[ ]
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
分析 使用方程理论和不等式性质． 解 (1)p是q的必要条件 (2)p是q充要条件 (3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件．选A．
说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．
?x1＞3?x1?x2＞6例7?是?x＞3?2?x1x2＞9的条件．
分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．
解 x1＞3且x2＞3?x1＋x2＞6且x1x2＞9，但当取x1＝10，x2＝2时，?x1?x2＞6?x1＞3成立，而?不成立(x2＝2与x2＞3矛盾)，所以填“充分不 ??x1x2＞9?x2＞3必要”．?x1＞3?x1－3＞0说明：? ??
?x2＞3?x2－3＞0?(x1－3)＋(x2－3)＞0????(x1－3)(x2－3)＞0
?x1＋x2＞6这一等价变形方法有时会用得上．??x1x2－3(x1＋x2)＋9＞0