小学+初中+高中+努力=大学
函数基本概念回归课本复习材料1
一．考试要求：
(1)了解映射的概念，理解函数的概念.
(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数. (4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质. (5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质.掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
二．基础知识:
1.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 2..解连不等式N?f(x)?M
3.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在
222(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0
4.闭区间上的二次函数的最值
二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??2b处及区间的两端点处取得，2a具体如下： 当a>0时，若x??b??p,q?，则 2af(x)min?f(?x??b),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2ab??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?， 2af(x)min?min?f(p),f(q)?. b??p,q?，则 2a?min?f(p),f(q)?，若
当a<0时，若x??f(x)minbx????p,q?，则
2af(x)max?max?f(p),f(q)?， f(x)min?min?f(p),f(q)?.
5.一元二次方程的实根分布
依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 .
6.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，
???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)min?0(x?L).
(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).
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?a?0?a?0?42(3)f(x)?ax?bx?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.
b?4ac?0?c?0??7.函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0? f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为
减函数.
7.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)是减函数; 如果函数
y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
8．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 9.若函数y?f(x)是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a).
10.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?b;两个函数2a?b对称. 2a11.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数
2y?f(x)为周期为2a的周期函数.
nn?112．多项式函数P(x)?anx?an?1x??a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 13.函数y?f(x)的图象的对称性
(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x) ?f(2a?x)?f(x).
a?b(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?对称?f(a?mx)?f(b?mx)
2?f(a?b?mx)?f(mx). y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?14.两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?(3)函数y?f(x)和y?f?1a?b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.
15.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
16．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f?1(b)?a.
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17.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1?1[f(x)?b],并不是y?[fk?1(kx?b),而函数
y?[f?1(kx?b)是y?1[f(x)?b]的反函数. k18.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c. (2)指数函数
f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0. (3)对数函数f(x)?logax,
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).
(4)幂函数f(x)?x
?f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，
f(x)?f(y)（5）三角函数型：f(x)?tanx ----- f(x?y)?。
1?f(x)f(y)（6）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、递推法、反
证法等）进行逻辑探究。
19.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0，
1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)??(f(x)?0),
f(x)12或?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 21(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)?1?f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1
1?f(x1)f(x2)(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)周期T=4a； (5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a) ?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a), 则f(x)的周期T=5a；
(6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.
或f(x?a)?20. 指数、对数值的大小比较： （1）化同底后利用函数的单调性； （2）作差或作商法；
（3）利用中间量（0或1）；
（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
函数基本概念回归课本复习材料2
20.分数指数幂
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mn(1)a(2)a??1n?mnam1mn（a?0,m,n?N，且n?1）. （a?0,m,n?N，且n?1）.
??a21．根式的性质
n（1）(na)?a.（2）当n为奇数时，nan?a；
当n为偶数时，nan?|a|??22．有理指数幂的运算性质
(1) a?a?arsrrrsr?s?a,a?0.
?a,a?0?(a?0,r,s?Q).
(2) (a)?a(a?0,r,s?Q).
(3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q).
p
注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
23.指数式与对数式的互化式
rsrlogaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
24.对数的换底公式
logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).
mlogaN?25．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;
M?logaM?logaN; Nn(3)logaM?nlogaM(n?R).
(2) loga226.设函数f(x)?logm(ax?bx?c)(a?0),
记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验. 27. 对数换底不等式及其推广
21a11 (1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.
aa11 (2)当a?b时,在(0,)和(,??)上
aay?logax(bx)为减函数.
若a?0,b?0,x?0,x?,则函数y?logax(bx) 推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则
（1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga2m?n. 2三．基本方法
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1.映射f: A?B
⑴A中元素必须都有象且唯一；
⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一
2.函数f: A?B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）
复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式
a?g(x)?b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x?[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。
5.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
bbx型，可直接用不等式性质，②型，先化简，再用均值不等式 y?k?x2x2?mx?nx2?m?x?n?③y?2型，通常用判别式法；
x?mx?nx2?m?x?n?④y?型，可用判别式法或均值不等式法
mx?n①y?（7）不等式法――利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
7.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。（3）方程的思想――已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。
8. 反函数：
（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)?0(x?{0})有反函数；周期函数一定不存
（2）求反函数的步骤：①反求x；②互换 x、y；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。（3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。②函数y?f(x)的图象与其反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称，注意函数y?f(x)的图象与
?1x?f?1(y)的图象相同。
③f(a)?b?f(b)?a。
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。
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9.函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：
f(?x)??1（f(x)?0）。 f(x)③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或
（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|). ④若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。 ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（f(x)?0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 10.函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(a,b)内，若总有f?(x)?0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f?(x)?0，请注意两者的区别所在。 ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y?ax?b(a?0 xb?0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(??,?[?bb,0),(0,]. aabb],[,??)，减区间为aa③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.
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