??x2?ax3?0??ax?x?ax?1?124即得到线性方程组?，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方
x?x?x?14?13??x2?ax3?b程组的增广矩阵进行初等行变换如下
00??10?1?11??0?1a?????a10a1??01?a00?， ?A|b?????1???0?1?1100001?a?????0??1?a0b??0000b???所以，当a??1,b?0时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC?CA?B．
?10?1?11????01100?此时，?A|b???， ?00000???00000????x1??1??1??1??????????x2??0???1??0?所以方程组的通解为x???????C1???C2??，也就是满足AC?CA?B的矩
x010?3????????0??1??x??0??????4???阵C为
?1?C1?C2C???C1??C1??，其中C1,C2为任意常数． ?C2?
21．（本题满分11分） 设
二
次
型
f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2．记
?a1??b1????????a2?,???b2?．
?a??b??3??3?（1）证明二次型f对应的矩阵为 2??T???T；
22（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1． ?y2【详解】证明：（1）
f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2?a1??x1??b1??x1??????????????????2x1,x2,x3?a2?a1,a2,a3?x2??x1,x2,x3?b2?b1,b2,b3?x2??a??x??b??x??3??3??3??3??x1???T??x1,x2,x3?2???x2???x1,x2,x3???T?x??3???????x1????x2??x??3?
?x1???TT??x1,x2,x3?2??????x2??x??3??所以二次型f对应的矩阵为 2??T???T． 证明（2）设A?2??T???T，由于??1,?TT则A??2???????2??T??0
??2???T??2?，所以?为矩阵对应特征值?1?2的特
2征向量；
A??2??T???T??2??T????向量；
????，所以?为矩阵对应特征值?2?1的特征
而矩阵A的秩r(A)?r(2??T???T)?r(2??T)?r(??T)?2，所以?3?0也是矩阵的一个特征值．
22故f在正交变换下的标准形为 2y1． ?y222．（本题满分11分）
?3x2,0?x?1设?X,Y?是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(x)??，在给定
0,其他??3y2,0?y?x,?． X?x(0?x?1)的条件下，Y的条件概率密度为fY(y/x)??x3X?0,其他?（1）求?X,Y?的联合概率密度f?x,y?； （2）Y的的边缘概率密度fY(y)．
【详解】（1）?X,Y?的联合概率密度f?x,y?：
?9y2,0?x?1,0?y?x? f?x,y??fY(y/x)?fX(x)??xX?0,其他?（2）Y的的边缘概率密度fY(y)：
?19y2??dx??9y2lny,0?y?1??y fY(y)??f(x,y)dx??x???0,其他?23．（本题满分11分）
??2???3ex,x?0设总体X的概率密度为f(x;?)??x，其中?为为未知参数且大于零，
?0,其他?X1X2,?Xn为来自总体X的简单随机样本． （1）求?的矩估计量；
（2）求?的极大似然估计量．
【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）
E(X)??xf(x)dx????????0?2x2exdx??，
???1n1n令E(X)?X??Xi，得?的矩估计量??X??Xi．
nn?1ni?1（2）当xi?0(i?1,2,?n)时，似然函数为
???xL(?)???3ei?xii?1?n2?????e??n?3??x???i??i?1?2n?n1????????i?1xi??，
n?n1?取对数，lnL(?)?2nln??????x???3?lnxi，
i?1?i?1i?dlnL(?)2nn1?0，得令???0， d??i?1xi解得的极大似然估计量为．