重庆大学错误！未找到引用源。课程试卷 第1页 共4页
一、 填空题（每小题3分，共18分）
**2n?1AA1. 设为n阶矩阵，且A?2，A是的伴随矩阵，则AA?2
?010??011?????100100 C. ??. D. ??. ?011??001?????2．若向量组
A．
?0??100???B??3A?2x22. 若???与
??312???????相似，则?x,y?? （1，-1） . y???,?,?线性无关;
?,?,?线性相关,则(C )
?必可由?,?,?线性表示. B.?必不可由?,?,?线性表示
?必不可由?,?,?线性表示.
**3. 设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B?E?A，其中，A是A的伴随矩阵，则B的行列式B? -10 .
C.?必可由?,?,?线性表示. D.
*3．设A是任一n(n?3)阶方阵,A是其伴随矩阵,又k为常数,且k?0,?1,则必有
4设向量集合S为n维向量空间R的一个子集，则集合S构成向量空间的充要条件为该集合对向量的加法运算和数乘运算封闭 5. 二次型是 |t|?1
6. . 实对称阵A的秩等于r，又它有m个负的特征值，则它的符号差为 r — 2m .
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．设A是三阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为（ D ）
22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2tx1x2?2x1x3正定时，t应满足的条件
n(kA)*?（ B ）
*n*?1*n?1*kAA. C.kA. D.kA. A.. B.k4. 若
?1，?2，?3，?4是线性方程组
Ax?0的基础解系，则
?1??2??3??4是Ax?0的（ A ）
A. 解向量
3B. 基础解系 C.通解 D. A的行向量
5. . R空间中的3维向量（1,2,3）在一组基（3,0,0），（0,2,0），（0,0,1）下的坐标为（ C ）
A. (1,2,3) B. (3,2,1) C. (,1,3) D. (1,1311,) 23?010??010?????100101A. ??. B. ??. ?101??001?????6. . 设A是4阶方阵, 则下列条件中( D )与“秩(A) = 3”等价. A. A的列向量组线性无关,
B. 行列式
A?0,
C. A的3阶子式都不为零,
D. 齐次线性方程组A??0的基础解系中仅含有1个解向量.
三、判断题（每小题2分，共10分）（请在括号内填写“√”或者“×”）
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1．设
?1,?2,?,?m是
n维向量组，向量空间
0??1?10?2????01?10??02. 设B? C?,???12314??3?且矩阵?满足关系式?V???1?1??2?2????m?m?1,?2,??m?R?的维数等于R(?1,?2,?,?m)
?001?10021 (√ )
??0001??????0002???2．. 设V??AATA?E.A?Mn?n}，对矩阵的数乘和加法，V构成线性空间. X(C?BT)?E ,求?。
( × )
??1234??3 .任意实方阵对应于不同特征值的特征向量一定正交. ( × )
C?B??0123??1021?4. 若任意矩阵A,B满足R(A)?R(B),则A与B等价 ( × ) ?0012（??2分），(C?B)T???32?0001????435. 若实对称矩阵A是正定矩阵, 则它所有的特征值一定为正. ( √ ) ?四、计算题（一）（每小题8分，共16分）
1?11x?1???1000?解：?C?B?T?1???2100??（?4分），?1?210?1. 计算行列式行列式1?1x?1?11x?11?1的值
?01?21??x?1?11?1?
???1000?X?E?C?B?T?1???2100??（?2分）x?11x?11?11x?1?1?210?c?01?21??1?cj解 Dx?1x?1?1c1?x1?1x?1五、计算题（二）（每小题12分，共24分）
2??j?4xx?11?1?x?11x?11?1 x?11?11?11?11．问a,b为何值时,线性方程组
c100x?c2?cc13?11?x1?x2?x3?x4?0,
0x04?3c?x4?c11x0?x?(?1)2x?x?x?1?x40. ?
?x2?2x3?2x4?1,1000??x2?(a?3)x3?2x4?b, 利用行列式性质从二阶降为三阶得5分，最后由三阶得到答案3分。答案错误方法正确的??3x1?2x2?x3?ax4??1一半分数
有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.
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00?00?10??21??
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?111?0?B??A?b??r?1
解 方法一: ?0122?1????00a?10?b?1?.（4分） ?000a?1?0?? (1)当R(A)?4?a?1时,方程组有惟一解;（1分）
(2)当a?1时,方程组无解或无穷多解,此时
?1111?0?
B??A?b??r??0122?1???0000b?1???.（2分） ?0000?0??
①当b??1时,R(A)?R(B)?2?4,方程组有无穷多解;此时
??10?1?1??1?
B??A?b??r?0122?1????0000?0?, ?0000?0????1??1??????1??1??2??2??1?方程组的通解为x?k1??k2??0?????0?,k1,k2为任意常数;（3分）
?0????1?????0?? ②当b??1时,R(A)?2,R(B)?3,方程组无解.（2分） 综上可得: (1)当a?1时,方程组有惟一解;
(2)当a?1,b??1时,方程组有无穷多解; (3)当a?1,b??1时,方程组无解.
方法二:方程组的系数行列式
A?(a?1)2.
(1)当
A?(a?1)2?a?1时,方程组有惟一解;
(2)以下同方法一.
2．已知二次型
f?2x2221?3x2?3x3?2ax2x3(a?0),通过正交变换化为标准形
f?y2221?2y2?5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵. ?200?
解 二次型的矩阵A???03a?,则A的特征值为???1?1,?2?2,?3?5.由
?0a3?? A??E?(2??)(?2?6??9?a2)?(1??)(2??)(5??)?a?0a?2.
或 由A??2a?01?2?3?9?a?5?a?2.（2分）
????0??0??
对应于特征值???????1?1?1的特征向量1??1,单位化,得p??11?????;（3分） ?1???1?2??1???2???1??1?
对应于特征值????0?,单位化,得p??2?2的特征向量?2?2?0;（?0???3分）
???0???????0??0?
对应于特征值?????1??3?5的特征向量?3??1,单位化,得p??3?3??1???3??2?.（3分） ??1???2??重庆大学2014版试卷标准格式
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??0??1则所求的正交变换矩阵P?(p1,p2,p3)???2??1??2
六、证明题（14分，每小题7分）
100?0??1?.（1分） ?2?1??2?1. 设?1,?,?k为齐次线性方程组Ax?0的一组基础解系，而?不是该齐次方程组的解，证明向量组?,???1,?,???k线性无关。
证明：假设?,???1,?,???k线性相关，则存在一组不全为零的数l,l1,?,lk,使得
l??l1(???1)???lk(???k)?0(2分）(l?l1???lk)??l1?1???lk?k?0此处l?l1???lk必为零，否则?可由?1，?，?k线性表出，则?是其次线性方程组的解，矛盾。（3分）故l?l1???lk=0，即存在一组不全为零的数l1，?，lk使得l1?1???lk?k?0，则?1，?，?k相关，与已知矛盾（2分）2. 设n阶方阵A为正定阵，证明则其伴随矩阵A也为正定矩阵。 证明：设矩阵
*A为正定矩阵，从而其可逆（1分），其伴随矩阵为A满足：AA*?|A|E，
*从而A*?|A|A?1（1分），从而对任意的非零向量x?R，有：
x'A*x?x'|A|A?1x?|A|x'A?1AA?1x(1分）?|A|(A?1x)'A(A?1x（)2分）因矩阵
?1*A为正定阵，故显然|A|?0（1分），且Ax?0（1分），从而有: x'Ax?0，
n故根据正定矩阵的定义可知，矩阵A为正定阵。
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