位移方向与水平夹角?：tg?? (12)
sys?gtx2v0
三、抛体运动的分析
1、斜抛运动的理论分析
忽略空气阻力情况下的抛射体运动是普通物理学中的一个常见问题，在高中物理教材中已有涉及，解决该问题的方法较多，分析的角度也有不同，运用的数学方法也是从初等数学到高等数学而不断深入，对该问题的分析往往是通过运用各种力学原理，推导出该运动的射程，飞行高度，飞行时间以及飞行路径曲线形状等公式，但其数值求解过程比较复杂，因此，对不具备较好高等数学基础的同学来说是较困难的。
设某一抛射体的初速度为v0，抛射角为?，将其运动在X,Y轴上进行正交分解，水平方向速度vx?v0cos? (13) 竖直方向(14)
质点的坐标(x,y)是(15)
y(t)?v0sin?t?12gt2
vy?v0sin??gt
x(t)?v0cos(?)t
(16)
y?xtan??gx22v0cos2?t
2从上两式消去t，便得质点的轨迹运动方程(17)
H?抛射体能达到的最大高度为(18)
2sinv0?22gsin?g
T?v其到达最大高度所需时间为(19)
0
sin?t?2T?2v0g空中飞行时间为 (20)
抛射体的最大射程为X?v0(21)
2sin2?g
它跟初速度v0和抛射角?有关，在抛射角?不变的情况下，射程x与v0成正比，所以射程随初速度的增大而增大。在初速度v0不变的情况下，随着抛射角?的增大，射程也增大，当??45度时，sin2??1，射程达到最大值，以后随着抛射角的增大，射程减小。
利用MATLAB的绘图功能，可以更直观的体现上述结论。
x=linspace(0,pi/2,100); %产生行向量发射角 g=10; %重力加速度 v1=10; %初速度取10 v2=15;
v3=20; %初速度取20 v4=25; %初速度取25
y1=v1^2*sin(2*x)/g; %初速度为10下的射程 y2=v2^2*sin(2*x)/g; %初速度为15下的射程 y3=v3^2*sin(2*x)/g; %初速度为20下的射程 y4=v4^2*sin(2*x)/g; %初速度为25下的射程 subplot(2,2,1); %选择2*2个区的一号区 plot(x,y1); %输出初速度为10下的射程曲线 title('v0=10'); %加图形标题
text(pi/4,10,'射程为10'); %在最大射程处加图形说明 subplot(2,2,2); %选择2*2个区的二号区 plot(x,y2); %输出初速度为15下的射程曲线 title('v0=15'); %加图形标题
text(pi/4,22.5,'射程为22.5'); %在最大射程处加图形说明 subplot(2,2,3); %选择2*2个区的三号区 plot(x,y3); %输出初速度为20下的射程曲线 title('v0=20'); %加图形标题
text(pi/4,40,'射程为40'); %在最大射程处加图形说明 subplot(2,2,4); %选择2*2个区的四号区 plot(x,y4); %输出初速度为25下的射程曲线 title('v0=25'); %加图形标题
text(pi/4,62.5,'射程为62.5'); %在最大射程处加图形说明
2程序运行结果如图1所示。 2、斜抛运动解决实际问题
求解最大飞行路径所对应的抛射角问题（空气阻力忽略不计），如图2所示，X,Y坐标轴分别代表抛射体的射程与射高，在?x,y?处，设在某一微小时段内抛射体的路径变量
图
1 射程与抛射角、初速度的关系
为dt，其对应的水平及竖直方向的变量为dx与dy， 则
（22）
RdL?dx2?dy2
设射程为
（23）
R，则飞行路径长度
L??1?(0dy2)dx dx根
(24)
据前面的推论，
R?v0sin(2?)g2
其中v0为抛射的初始速度，?为抛射角，
根据运动学原理，有 x?(v0cos?)t （25）
1 y??gt2?(v0sin?)t
2（26） 从（24）、(25）中消除t，我们可得到该运动的抛物线方程：
y??（27）
1gx2?xtg?22(v0cos?)
从（24）中可知，为求解L,先得求出
dy，因此在（4）式两边同时对x求导，得： dxy??gx?xtg?(v0cos?)2
（28）
将（27）代入式（24），等式两边同时积分，便得到了飞行路径长度与抛射角之
??1?si?n??间的关系：L(?)?v0?sin??cos2ln???
g??co?s??2（29）
根据式（28），为求得L的最大值，将（28）两边同时对?求导
???1?cosL'(?)?2v0cos??1?sin?ln?g??sin?2??????
（30）
令L'(?)?0，可得到最大飞行路径所对应的抛射角的大小，但解此方程是比较困难的。为此，我们采用MATLAB的函数运算功能来解决这一问题。 程序如下，设其中的抛射初速度v0?10ms，g?9.8ms2。
x=(0:pi/100:pi/2); %产生行向量x
y1=(sin(x)+(cos(x).*cos(x)).*log(1+sin(x))./cos(x))*100/9.8; %飞行路径长度与抛射角之间的函数关系
y2=cos(x).*(1-sin(x).*log((1+sin(x))./cos(x)))*200/9.8;
%飞行路径对抛射角的一阶导数的函数关系
m=(sin(pi/6)+(cos(pi/6)*cos(pi/6))*log(1+sin(pi/6))/cos(pi/6))*100/9.8;
%抛射角取某一特定值时飞行路径值
n=cos(pi/3)*(1-sin(pi/3)*log((1+sin(pi/3))/cos(pi/3)))*200/9.8; %抛射角取某一特定值时飞行路径一阶导的值 plot(x,y1,'b:'); %输出飞行路径长度与抛射角之间的函数表达式 hold on; %设置图形保持状态
plot(x,y2,'k'); % 输出飞行路径对抛射角的一阶导数的函数表达系 hold off; %关闭图形保持
text(pi/6,m,'y1'); %在指定位置添加图例说明 text(pi/3,n,'y2'); %在指定位置添加图列说明 grid; %网格线控制
运行结果如图2所示。
图2给出了飞行路径随抛射角的变化曲线L(?)及飞行路径曲线的斜度L'(?)，从图中可以得到，当??0.9855（弧度）时，即??56.49度时，飞行路径最大，
2此
（31）
时
L?1.21v0g
我们知道，在不考虑空气阻力的情况下，当抛射角??45度时，其射程最远，但此时其飞行路径并不是最远，而是当抛射角??56.49度时，其飞行路径最远，且其长度约为L?1.21v0实际上，由于空气阻力的存在，抛射体在空中是沿
g，
导弹曲线（弹头飞行时其重心所经过的路线）飞行的，它与抛物线不同，它的升弧与降弧不对称，在重力与空气阻力的共同影响下，弹道形成不均等的圆弧，升弧较长而直伸，降弧较短而弯曲.斜抛射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，路线也不是理想曲线。
2
图2 抛射角与飞行路径及其一阶导数曲线图
物体在空气中受到的阻力，与物体运动速度大小有密切联系，速度越小，越接近理想情况，当物体速度低于200米每秒时，阻力与物体速度大小的平方成正比，速度介于400至600米每秒之间时，空气阻力与速度大小的三次方成正比，在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。 3、抛射角为90度的特殊抛体运动