考研真题四1.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量(xny.00数一考研题n)(1)求(xn?1xnxn?1y的关系式并写成矩阵形式:?xAn?1)与(yn)(yn?1)(ny);n(2)验证?4?11?(1),?2?(1)是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;(3)当(x1xn?1y)?(1/21/2)时,求1(y?1).n2.已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.01数一考研题(1)记P?(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使A?PBP?1;(2)计算行列式|A?E|.3.设A,B为同阶方阵,02数一考研题(1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.?0?2?2?4.矩阵???22?2??的非零特征值是__________.02数二考研题??2?22???322??0105.设矩阵A???2??,P?????1*?23AP,求B?2E的特?223???101?,B?P?001??征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.03数一考研题.9.?220?6.若矩阵A????82a??相似于对角矩阵B,试确定常数a的值;并求?006??可逆矩阵P使P?1AP?B.03数二考研题?2?3?7.设矩阵A??1???14?3??的特征方程有一个二重根,求a的值,并?1a5?讨?论A是否可相似对角化.04数一、二考研题8.设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为?1,?2,则?1,A(?1??2)线性无关的充分必要条件是( ).05数一、二考研题(A)?1?0; (B)?2?0; (C)?1?0; (D)?2?0.9.设 阶3实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1?(?1,2,?1)T,?2?(0,?1,1)T是线性方程组Ax?0的两个解.06数一、二考研题(1)求A的特征值和特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??.?2?1?1??100?10.设矩阵A???????12?1,B?010,则A与07数一、二考研题??1?12????000?B( ).?(A)合同,且相似; (B)合同,但不相似; (C)不合同,但相似; (D)既不合同,也不相似.11.设3阶实对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,且?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.(Ⅰ)验证?1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;(Ⅱ)求矩阵B.07数一、二考研题13.设A为2阶矩阵,?1,?2为线性无关的2维列向量A?1?0,A?2?2?1??1,则A的非零特征值为_______.08数一、二考研题.10.
14.矩阵A的特征值是?,2,3,其中?未知,且A?24,则??_____.08数二考研题15.设A为3阶矩阵,?1,?2为A的分别属于特征值?1,1的特征向量,向?3满足A?3??2??3,(1)证明?1,?2,?3线性无关;(2)令P?(?1,?2,?3),求P?1AP.08数二考研题.11.量