3k?30.9??e，查普哇松分布数值表，得x?5。
k?0k!x2.15 设二维随机变量(?,?)的联合分布列为：
P(??n,??m)??npm(1?p)n?mm!(n?m!)ne??(??0,0?p?1) m?0,1,?,nn?0,1,2,?
求边际分布列。
解 P(??n)??P(??n,??m)?m?0?ne??n!pm(1?p)n?m ?n!m?0m!(n?m)!n??ne??n!n?0,1,2,?
pme??P(??m)?P(??n,??m)?m!n?0??n!pm(1?p)n?m ?n?mm!(n?m)!?(?p)me??p?m!m?0,1,2,?。
2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为?、?、?，求(?,?,?)的联合分布列与各自的边际分布列。
解 P(??m,??n,??k)?4!0.5m0.3n0.2k ，m,n,k?0,1,2,3,4m?n?k?4. m!n!k!?4?m4?m ，m?0,1,2,3,4； P(??m)???m??0.50.5???4?n4?nP(??n)???n??0.30.7 ，n?0,1,2,3,4；
???4?k4?kP(??k)???k??0.20.8 ，k?0,1,2,3,4。
??2.18 抛掷三次均匀的硬币，以?表示出现正面的次数，以?表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(?,?)的联合分布列及边际分布列。
2.21 设随机变量?与?独立，且P(??1)?P(??1)?p?0，
1若???为偶数，问p取什么值又P(??0)?P(??0)?1?p?0，定义?????0若???为奇数时?与?独立？
解P(??1)?P(??0)P(??0)?P(??1)P(??1)=(1?p)2?p2
P(??0)?P(??0)P(??1)?P(??0)P(??1)?2p(1?p)
而P(??1,??1)?P(??1,??1)?p2，由P(??1,??1)?P(??1)P(??1)得p?1
2 2.22 设随机变量?与?独立，且P(???1)?P(???1)?证明?,?,?两两独立，但不相互独立。
证明P(??1)?P(??1)P(??1)?P(???1)P(???1)?P(???1)?P(??1)P(???1)?P(???1)P(??1)?1 21，定义????，21 2因为P(??1,??1)?P(??1,??1)?1?P(??1)P??1) 41P(??1,???1)?P(??1,???1)?P(??1)P???1)
41P(???1,??1)?P(???1,???1)?P(???1)P(??1)
41P(???1,???1)?P(???1,??1)?P(???1)P(???1)
4所以?,?相互独立。同理?与?相互独立。
但是P(??1,??1,??1)?P(??1)P(??1)P(??1)，因而?,?,?不相互独立。
2.23设随机变量?与?独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明???不服从均匀分（即不可能有P(????k)?1,k?2,3,?,12。） 11证明 设P(??k)?pk,P(??k)?qk,k?1,2,?,6。
若P(????k)?1,k?2,3,?,12，则 111P(????2)?p1q1? (1)
111P(????7)?p1q6?p2q5???p6q1? (2)
111P(????12)?p6q6? (3)
11将（2）式减去（1）式，得：(p6?p1)q1?0，于是p6?p1。同理q6?q1。因此p6q6?p1q1?1，与（3）式矛盾。 11??02.24 已知随机变量?的分布列为?1???4?212???4?2????2与??cos?的分，求?31??布列。
解 ?分布列为P(??2)?1?12?1)?； ，P(??2?)?，P(??2?43234111?的分布列为P(???1)?，P(??0)?，P(??1)?。
4243???2?101211111?，求???的分??651530??52.25 已知离散型随机变量?的分布列为?1布列。
17111 , P(??1)? , P(??4)? , P(??9)? 530530?0?013?2.26 设离散型随机变量?与?的分布列为?：?131? ， ? ：?1????3?288?解P(??0)?1?2?，?3?且?与?相互独立，求?????的分布列。
解 ?1111??624?012434?11?
?2412?2.27 设独立随机变量?与?分别服从二项分布：b(k;n1,p)与b(k;n2,p)，求
???的分布列。
解 设?为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），
?为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），而?与?相互独立，所以???为n1?n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而
?n1?n2?kn1?n2?kP(????k)???k??pq??,k?0,1,,?,n1?n2。
2.28 设?与?为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 P(??n)?P(??n)?求???的分布列。
解P(????n)??P(??k)P(??n?k)??k?1n?11,n?1,2,? 2n11n?1 ??kn?kn22k?12n?112.29 设随机变量?具有分布：P(??k)?,k?1,2,3,4,5，求E?、E?2及
5E(??2)2。
11解，E??(1?2?3?4?5)?3，E?2?(12?22?32?42?52)?11
55 E(??2)2?E?2+4E?+4=27 2.30设随机变量?具有分布：P(??k)?1,k?1,2,?，求E?及D?。 k2?k?1k1??1?解 E???k??k??2k?1?2?k?12 D??E?2?(E?)2?2
?k?1k21?2?1?2?2，E???k??k??2k?1?2?k?12?6
2k1]?k,k?1,2,?，问?2.31设离散型随机变量?的分布列为：P[??(?1)k2k是否有数学期望？
??12k11解 ?|(?1)|?k??，因为级数?发散，所以?没有数学期望。
k2k?1kk?1k?1k?k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量
以相同的概率为1克、2克、?、10克，现有三组砝码：
（甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克）
问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？
解 设?1、?2、?3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有
物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
?1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 ?2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 ?3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1
1(1?1?2?2?1?2?2?3?3?1)?1.8 101 E?2?(1?1?1?1?2?2?2?3?3?1)?1.7
101E?3?(1?1?2?3?1?2?2?3?4?1)?2
10于是 E?1?所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。
2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, ?10米的概率各是0.16，?20米的概率各是0.08，?30米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。
解 设场地面积为S米2，边长的误差为?米，则S?(??500)2且
E??0E?2?2(102?0.16?202?0.08?302?0.05)?186
所以ES?E(??500)2?E?2?1000E??250000?250186(米2)
2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为p1、
p2、p3。试证发生故障的仪器数的数学p1+p2+p3。
?1第i架仪器发生故障证 令?i??i?1,2,3
?0第i架仪器未发生故障?为发生故障的仪器数，则E?i?P(?i?1)?pi,i?1,2,3， 所以E??E?1?E?2?E?3?p1+p2+p3。
2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。
解 设，
?10?1则?i的分布列为?114?，因而E?i?。设?为查得的不合格品数，
??15?1515?则
????i，所以E???E?i?10。
i?1i?11501502.38 从数字0，1，?，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。
解 设?为所选两个数字之差的绝对值，则P(??k)?n?k?1,k?1,2,?,n，
?n?1???2????nn?k?12n?22于是E???k。 ?[(n?1)k?k]??3?n?1?n(n?1)k?1k?1???2???n2.39 把数字1,2,?,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。