中考数学中的开放性问题
江苏省泰州市九龙实验学校 顾广林
（此文在国家级核心期刊《中学数学教学参考》2007.4上发表）
新课程标准把逐步形成数学创新意识列为教学目标,各地中考数学命题为了实现这个目标都做了有益的尝试,并在不同程度上给予体现,主要表现在涌现出不少别具创意、独特新颖的探索规律、条件、结论的开放性问题。这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程。尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.下面例析活跃在2006年中考数学试题中的开放性试题. 一、开放题常见的题型
开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．
1．条件开放型 例1．（2006 海口）如图， D、E分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：__________________，使得△ADE∽△ABC.
分析：这是一道条件开放题，只要寻求其成立的一个充分条件即可.如∠ADE=∠BA 或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC等∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC等.
E 评注：在上述问题中，结论已知，而条件需探求，并且具有开放性，这类问题称
D
为条件开放题．在解决此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求．这类题型虽然考查的都是基础知识，但是给学生较大的思考空间，不是被动地套用解题模式，而B C
是在问题情景中创造性地解决问题. 2．结论开放型
?于点D 例2．（2006 南昌）如图AB是⊙O的直径，BC是⊙O弦OD⊥CB于点E，交BC（1）请写出三个不同类型的正确结论： （2）连结CD，设∠CDB=?，∠ABC=?， 试找出?与?之间的一种关系式并给予证明.
解：（1）不同类型的正确结论不惟一．以下答案供参考：
⌒ = CD⌒ ；③ ∠BED = 90°；④ ∠BOD ① BE = CE；② BD
角形；⑩ △BOE ∽ △BAC；等等． （2）?与?的关系式主要有如下两种形式． ①答；?与?之间的关系式为?-?=90°. 证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠A+∠ABC=90°．
又∵四边形ACDB为圆的内接四边形，∴∠A+∠CDB=180°．∴∠CDB-∠ABC=90°,即?-? = 90°. ②答?与?之间的关系式为?>2?. 证明 ∵ OD=OB， ∴∠ODB=∠ OBD．又∵∠ OBD=∠ABC+
ECDOAB（图4）· OE；⑨ △BOD是等腰三② =∠A；⑤ AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦ OE2?BE2?OB2；⑧ S△ABC = BC
??BD?，∴CD=BD．∴∠CDO=∠ODB=1∠CDB，∠CBD， ∴∠ODB>∠ABC．∵OD⊥BC，∴CD2∴∠CDB>∠ABC，即?>2?．
评注：本题是在一定条件下，探求问题的结论，属于结论开放题．解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。这类问题结论开放，学生可自主探索，自由发展，而第（2）小问中渗透的开放性问题，对知识的整合大有裨益。解决这类问题的关键是通过观察、分析，发现图形所具有的特征及其中隐含的关系．这道开放题留给学生很大的想象空间.充分显示出思维的多样性，同时也体现了不同学生对数学学习的个性化.教学中要引导学生多角度、多层次、多渠道地解答开放性的问题，培养学生的个性，从而全方位培养学生的创造能力.
3．条件和结论都开放型
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例3（2006 汉川）如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题_____________________.
(1)AE=AD C
(2)AB=AC
E O (3)OB=OC
B (4)∠B=∠C A D
分析：，四个条件任取二个，共有6种不同的组合．要求写出相应的6种命题并一一进行研究，这
是一个很有价值的研究性课题．本题中只要求写出一个命题，具有明显的开放性．通过证明△ABE≌△ACD，即可组建真命题（1）（2）
（4）；（2）（4） （1）；（1）（4） （2）等。
点评：本题是条件和结论都开放的试题，可以充分考查学生对几何知识点的整合能力，它一改过去的传统模式，鼓励探究、关注过程，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”这一新课程理念。这类开放性试题旨在让学生经历多角度认识问题，多策略思考问题，尝试解释不同答案合理性的数学活动，培养和提高创新意识及自主探索新知识的能力.
二、按知识分类
１．操作设计类开放题
例8 （2006 大连）如图-l，P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上)，∠ACB=90°，M为A B边中点．
操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME=PM，连结DE． 探究：(1)请猜想与线段DE有关的三个结论； (2)请你利用图—2、图—3选择不同位置的点P按上述方法操作； (3)经历(2)之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图—2或图—3加以说明；(注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分)
(4)若将\-4操作，并写出与线段DE有关的结论(直接写答案)．
分析：(1)DE∥BC，DE=BC，DE⊥A C． (2)如图4、如图5．
(3)不同的方法见图
评注：本题是一道操作型试题，这类问题的方案往往具有很强的开放性．本题中已经就直角三角形的情形给出了提示，这样就降低了问题的开放性与难度．
《数学课程标准》明确提出“动手实践”是学生学习数学三种重要方式之一。所以，数学学习无论是内容还是方法都要重视“实验”，在“实验操作”中使学习活动成为一个生动活泼、主动并富有个性的过程，以后这方面考查的力度会增强，因此教学中要注重实践活动，落实动手能力。
例4（2006 潍坊）如图5，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：B （1）列出你测量所使用的测量工具； （2）画出测量的示意图，写出测量的步骤； （3）用字母表示测得的数据，求出B点到公
路的距离．
解：（1）测角器、尺子；
（2）测量示意图见右图，测量步骤如下：
①在公路上取两点C，D，使?BCD，?BDC为锐角；②用测角器测出?BCD??，
?BDC??；③用尺子测得CD的长，记为m米；④计算求值．
C A （图5）
D 公路l （3）解：设B到CD的距离为x米，作BA?CD于点A，
在△CAB中，x?CAtan?，在△DAB中，x?ADtan?，
xx，AD?∴CA?，?CA?AD?m， tan?tan?xxmtan?tan???m，∴x?∴． tan?tan?tan??tan? 评注：本题要求设计的测量方案具有开放性，因此该题属于设计方案类开放题．解决此类问题，往往采用构造数学模型的策略来进行求解．
2．猜想型开放题
例6.（2006 济南）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶
数时，结果为
n2k（其中k是使
n2k为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
F② F② F①
26 13 44 11 ?
第一次 第二次 第三次
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是_____________________________．
解析：根据定义的“F”运算算几步：449?1352?169?512?1?8?1?1?8?，就会发现规律，结果是8.
点评：所谓猜想归纳，是指通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律。它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验
等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律. 3．概率类开放题 例5．（2006 泰州）三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球．
（1）用列表或画树状图的方法求经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是多少？
（2）由（1）进一步探索：经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？ （3）就传球次数n与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小，提出你的猜想（写出结论即可）． 分析：（1）易得三次传球后P(球回到甲手中)=1/4
(2)经过4次传球后球仍然回到甲手中的不同传球方法共有6种．
(3)猜想：当n为奇数时，P(球回到甲手中) P(球回到甲手中)>P(球回到乙手中)=p(球回列丙手中) 评注：本题（1）是常规的概率计算；（2）是在（1）基础上的进一步探索；（3）则是在前两问之下让你“提出你的猜想”．这个过程蕴含着发现数学结论的策略和方法，能够有效地考查学生的推理和探究能力。事实上，出活题，考能力，一直是中考命题的方向，许多中考试卷把改变问题的叙述方法，使问题具有开放性，着力考查学生的数学探究能力放在重要位置，这样既提高了数学试卷在考查学生数学能力方面的效度和区分度，又有利于促使教师在教学中重视数学知识的发生、发展过程，发展学生的数学素养，提高教学质量。 4．几何推理开放题 （2006 江西）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题： ① 如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 60°，则BM = CN. ② 如图2，在正方形ABCD中，M、NCD、AD上的点，BM与CN相交于∠BON = 90°,则BM = CN. 然后运用类比的思想提出了如下的 BANO图1MCANDOMC分别是点O，若 命题： B图2③ 如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是 EFECD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠NNBON = 108°，则BM = CN. DAAD任务要求 OMOM（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明； ECBBCM（2）请你继续完成下面的探索： 图3N图4① 如图4，在正n（n≥3）边形DAOABCDEF?中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与 CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论 BCBM = CN成立？（不要求证明） 图5② 如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. （1）我选 . 分析：（1）命题①只要证明△BCM ≌ △CAN. 命题②只要证明△BCM ≌ △CDN. 命题③只要证明 △BCM ≌ △CDN. ANOB图1MCB图2OANEDMCAOB图3CENDMB图5AOCNMD （2）① 当∠BON = (n?2)?180?时，结论BM = CN成立. ?????2′ n② BM = CN成立. 评注：这是一道结论性探究开放题，它具有综合性、探究性、和开放性。本题从特殊图形（正三角形、正方形）出发，由确定的角度寻找线段的大小关系，是展开探索的主 线。整个题目充分体现了几何图形内在的规律与结论，给学生创造了自主探究的机会和空间，让学生再次经历了课堂上的活动过程。该题摆脱了原来几何试题单一的演绎模式，而是从特殊到一般地引申推广，这是数学研究的重要方式，有利于考查学生参与数学学习过程的程度，也是考查学生创新能力的重要途径。 5．动态几何开放题 (2006 东营)半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC:CA = 4:3，点P︵ 在 AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动到AB弧的中点时，求CQ的长． (3)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值，并求此时CQ的长． 解：（1）当点P运动到与点C关于直径AB对称时，如图所示，此时CP?AB于D， 通过证明?ACB∽?PCQ得CQ?BC?PC432?PC? AC35 （2）因为点P在弧AB上运动过程中，有CQ?BC?PC4?PC， AC3 所以PC最大时，CQ取到最大值． ?当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大，最大 20． 3评注：在题目给定的已知量中，有一个或几个量在某一范围内不断变化或连续地运动，需要探究在这一变化过程中，其他相关量的变化情况。解题时要切实把握几何图形在运动过程中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动” 的一般规律。 6．课题研究型开放题 例（2006黔南）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过， 为什么？ （3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以 y 顺利通过，为什么？ P （1）由题意可知抛物线经过点A?0，y?ax2?bx?c 将2?，P?4，6?，B?8，2? 设抛物线的方程为为 A，P，D三点的坐标代入抛物线方程． A B 12解得抛物线方程为y??x?2x?2 4O C x 1（2）令y?4，则有?x2?2x?2?4 解得x1?4?22，x2?4?22 4x2?x1?42?2 ?货车可以通过． 1x2?x1?22?2 ?货车可以通过． 2评注：课题研究型开放题是不是指题目给出了一定的实际生活的问题情境，解题者需通过已有信息建立数学模型表达自己的观点，解决实际问题。其解题程序是：读题 建模 求解 反馈。此类问题是新课标推崇的重要内容，意在培养和发展学生应用数学知识解决问题的意识和能力，也是中考命题的新趋势之一。 （3）由（2）可知 笔者认为，开放性试题作为考查考生创新意识的渠道之一，有利于考生自主发挥水平，同时也能有效地考查考生的学习潜质，因此在今后的各类升学考试中必将大有作为．为此，在教学实践中应加强数学开放题训练，使学生掌握这类问题的解题策略．更重要的是，要加强过程教学，充分激发学生的数学思维，提高学生分析问题与解决问题能力．这样标本兼治，才能使学生在面对开放题时，能够游刃有余，得心应手．