第2讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
x＋y≥2，??
1．(2016·忻州一模)不等式组?2x－y≤4，所围成的平面区域的面积为( )
??x－y≥0
A．32 B．62
C．6 D．3
解析：选D.如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2，0)，B(4，4)，C(1，1)，
1
所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3.
2
x＋y－2≤0，??
2．(2015·高考重庆卷)若不等式组?x＋2y－2≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等
??x－y＋2m≥0
4
于，则m的值为( ) 3
A．－3 B．1 4C. D．3 3
解析：选B.作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2，0)，
?2－4m，2＋2m?，D(－2m，0)．
B(1－m，1＋m)，C??3??3
2＋2m?11??1＋m－2?＝4，S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·?1＋m－＝(1＋m)·???3?3?322??解得m＝1或m＝－3(舍去)．
3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件?
??x＋y≥a，
?x－y≤－1，?
且z＝x＋ay的最小值为
7，则a＝( )
A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3
解析：选B.当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．
1
??x－y＝－1，由?得交点A(－3，－2)， ?x＋y＝－5?
则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．
zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．
当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．
由?
??x－y＝－1，??x＋y＝3
得交点B(1，2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2
＝7，满足题意．
y≥x，??
4．(2016·江西省红色六校模拟)设变量x，y满足?x＋3y≤4，则z＝|x－3y|的最大值为
??x≥－2，
( )
A．3 B．8 139C. D. 42
解析：选B.作出不等式组满足的平面区域，如图，
法一：令m＝x－3y，作出目标线，
当目标线过A(－2，2)时，mmin＝－2－3×2＝－8.当目标线过B(－2，－2)时，mmax＝－2－3×(－2)＝4.
所以－8≤m≤4，所以0≤|m|≤8，即zmax＝8.
|x－3y||x－3y|
法二：令m＝，则由点到直线的距离公式知m＝表示区域内的点到直线x－
1010
3y＝0的距离，而m取得最大值时，z取得最大值，由图可知点A(－2，2)到直线x－3y＝0的距离最大，故z＝|x－3y|的最大值为|－2－3×2|＝8，故选B.
2
3x－y－2≤0，??
5．(2016·邢台摸底考试)设x，y满足约束条件?x－y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a>0，
??x≥0，y≥0，
b>0)的最大值为4，则a＋b的值为( )
1
A. B．2 4C．4 D．0
解析：选C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1，1)时取最大值，所以a＋b＝4.
?x－y＋1≥0，?
6．(2016·江西省重点学校联盟)实数x，y满足?若t≤y＋2x?（x－2y）（x－2y＋6）≤0，?
恒成立，则t的取值范围是( ) A．t≤13 B．t≤－5 C．t≤－13 D．t≤5
?x－y＋1≥0，?
解析：选B.作出不等式组?
??（x－2y）（x－2y＋6）≤0
的可行域如图中的阴影部分所示，设z＝2x＋y，结合图形可得当目标线过点A (－2，－1)时z取得最小值，最小值为－2×2－1＝－5，而t≤y＋2x恒成立，则有t≤－5.
0≤x≤2，??
7．(2016·景德镇一模)设不等式组?0≤y≤3，所表示的平面区域为S，若A，B为区域S??x＋2y－2≥0内的两个动点，则|AB|的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
则由图可知A(0，3)，B(2，0)两点的距离最大，|AB|的最大值为13. 答案：13
?x－y＋1≥0，
?
8．若实数x，y满足?x＋y≥0，
??x≤0，
则z＝3
x＋2y的值域是________．
3
1t解析：令t＝x＋2y，则y＝－x＋，作出可行域，
22
1
平移直线y＝－x，
2
由图像知当直线经过O点时，t最小，当经过点D(0，1)时，t最大，
x＋2y所以0≤t≤2，所以1≤z≤9，即z＝3的值域是[1，9]． 答案：[1，9]
?x≥0，
?y＋3
9．(2016·郑州预测)若变量x，y满足约束条件?y≥0，则z＝的取值范围是
x＋1
??4x＋3y≤12，
________．
解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝
y＋3
表示可行域内一点P(x，y)与x＋1
3
点(－1，－3)的连线的斜率，由图像可知当点P在点(3，0)时，zmin＝，
4
3
在点(0，4)时，zmax＝7，所以≤z≤7.
4
?3?答案：?，7? ?4?
10．(2016·郑州质检)若x，y满足条件 ?3x－5y＋6≥0，
?
?2x＋3y－15≤0，当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是??y≥0，
________．
解析：画出可行域，如图，直线3x－5y＋6＝0与2x＋3y－15＝0交于点M(3，3)，由目标函数z＝ax－y，得y＝ax－z，纵截距为－z，当z最小时，－z最大．欲使纵截距－z最大，
23则－
?23?答案：?－，? ?35?
11.已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包
4
括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原
?7x－5y－23≤0，
?
点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为?x＋7y－11≤0，
??4x＋y＋10≥0.
(2)根据题意有
[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0， 即(14－a)(－18－a)<0， 得a的取值范围是－18
12．(2014·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
→→→→(1)若PA＋PB＋PC＝0，求|OP|；
→→→
(2)设OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
→→→
解：(1)法一：因为PA＋PB＋PC＝0， →→→
又PA＋PB＋PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
??6－3x＝0，所以?
?6－3y＝0，???x＝2，解得?
?y＝2，?→→
即OP＝(2，2)，故|OP|＝22.
→→→
法二：因为PA＋PB＋PC＝0， →→→→→→
则(OA－OP)＋(OB－OP)＋(OC－OP)＝0，
→1→→→
所以OP＝(OA＋OB＋OC)＝(2，2)，
3→
所以|OP|＝22. (2)
→→→因为OP＝mAB＋nAC，
所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
??x＝m＋2n，所以?
?y＝2m＋n，?
两式相减得，m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
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