2012-2013学年第二学期《线性代数B》期末考试试卷 (A卷)--1
同济大学课程考核试卷（A卷）
2012—2013学年第二学期
命题教师签名： 审核教师签名：
课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试
此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷
年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 （注意：本试卷共八大题，三大张，满分100分.考试时间为120分钟.解答题要求写出解题过程，否则不予
计分）
一、(24分)填空与单选题.
1、设A和B都是n阶方阵，A*
是A的伴随矩阵，如果|A|?2，|B|??3，则行列式
|2A*B?1|? .
?2、设3阶方阵A与B相似，其中B??1?22???212??，则A8?6400E? .
??221???2?3、设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，????1,?2,3是它的三个解向量，
其中?1??3??，?4???1?????23???2?，则该方程组的通解是x? .
??3??????x1????4、设a是实数，如果集合V????x2?x???x?1,x2,x3,x4??,x1?2x2?3x3?4x4?a?关于向量的线
3????x??4???性运算成为线性空间，其中?是实数集，则a? .
?21?5、设3阶方阵A??0?31x?2??可相似对角化，则x? .
??405??6、设A是n阶可逆矩阵，则下列 恒成立. (A) (2A)?1?2A?1 (B) (2A)*?2A*
(C) (2A?1)T?(2AT)?1 (D) ??(A?1)?1?T????(AT)?1??1?
7、设A为n阶方阵，其中n?2，如果存在n维非零列向量?和?，使得A的伴随矩阵
A*???T，则齐次线性方程组Ax?0的解空间维数为 .
(A) n?1 (B) 1 (C) n (D) 0
8、设A?(aij)n?n是n阶实对称正定矩阵，则下面说法错误的是 . (A) A的各阶子式都是恒正的 (B) A的正惯性指数为n (C) 对于i?1,2,?,n，恒有aii?0 (D) 行列式|A?E|?1
21?11二、(10分)设4阶行列式D?13?411121的(i,j)元的代数余子式为Aij,求1135A13?A23?4A33?A43.
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?100???三、(10分)设矩阵A,B,X满足方程AXA?BXB?AXB?BXA?E,其中A??110?,
?111????011???B??101?,求矩阵X.
?1??3??9??0??a???????????五、(10分)已知向量组?1??2?，?2??0?，?3??6?与向量组?1??1?，?2??2?，
??3??1???7???1??1????????????b???3??1??有相同的秩，且?3可由?1,?2,?3线性表示，求a,b的值.
??110??
?(1?2?)x1?(1??)x2?x3???1四、(10分)?取何值时，非齐次线性方程组??(1??)x1?(1??)x2?x3?1
??x1?x2?(1??)x3?1(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？在有无穷多个解时求出其通解.
??0??
?x1??1六、(12分)设有二次型f(x)?xTAx，其中x???x??2?，A???x3???2???1将该二次型化为标准形.
2?1?21??.用正交变换x?Py32?? 2012-2013学年第二学期《线性代数B》期末考试试卷 (A卷)--3
?10?七、(12分)设V是所有2阶实矩阵关于矩阵的线性运算构成的线性空间.取A??定义?，
11??映射T:V?V，使得对任意的X?V，有T(X)?AX?XA. (1) 证明T是线性空间V中的线性变换.
(2) 求T在V的基 八、(12分)证明题.
(1) 设方阵A为实斜对称矩阵，即满足A??A.证明E?A是正定对称矩阵. T2?10??01??00??01?
下的矩阵.
B1???00?，?B2???00?，?B3???10?，?B4???1? ?
(2) 设?1,?2分别是矩阵A关于特征值1和2的特征向量，向量?3满足A?3?2?1??3，证明向量组?1,?2,?3线性无关.
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