常微分方程参考试卷
一．填空 1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经过变换 ，可化为伯努利方程。
?n(x)??的极限，则有3．若?（x）为毕卡逼近序列?。
?（x）—?n(x)?
4．若xi(t)（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。
5．若xi(t)（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。
6．如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在 a?t?b上满足 时，方程组 xˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x（t0）=?的解在a?t?b上存在唯一。 7．若?（t）和?（t）都是xˊ= A(t) x的 基解矩阵，则?（t）与?（t）具有关系：
。
8．若?（t）是常系数线性方程组x??解?(t)=_____________________
9.满足 _________________________________________的点（
x*,y*Ax的 基解矩阵,则该方程满足初始条件?(t0)??的
），称为方程组的奇点。
10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________
时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。 二．计算题（60分） 1．ydx?(x? 2．(
y3)dy?0
dy3dy)?4xy?8y2?0 dxdx
3．求方程dy?x?y2经过（0，0）的第三次近似解
dx 4．x???
5．若A??21?试求方程组x????14???
6.求
x?sint?cos2t
?1?并求expAt
Ax的解?(t),?(0)????????2?dxdy??x?y?1,?x?y?5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. dtdt
三.证明题(10分) 设
?ff(x,y)及连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的
?y积分因子.
答案
一. 填空
1.
dy?p(x)dxp(x)dx?p(x)dx e?(?Q(x)e?dx?c) ?p(x)y?Q(x) e?dxMLnhn?1dy2 3. ?p(x)y?Q(x)y?R(x) y?y?z(n?1)!dxw??a1(t)w?0 5.x(t)??cixi(t)?x(t) 6． A(t) f(t)连续
i?1n2.
4.
7．?(t)??(t)c,detc?0 8。?(t)??(t)?(t0)?
?dx?X(x,y)??dt9．?中X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10.为0 稳定中心
?dy?Y(x,y)??dt二．计算题
?M?N?1,??11． 解：因为?y，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子?x?(y)?e??ydy2?e?lny231，两边同乘1得dxx?y?dy?0 ?222yyyyx?????x?y3y?所以解为 1 ??dy?c?ydx???2?y??y????xy2??c即2x?y(y2?c)另外y=0也是解 y2?dy?232???8yp?8ydydx??2． 解：方程可化为x?令?p则有x?dy4ypdx4ydx（*）两边对y求导：2y(p33（*）
?4y2)dp?p(8y2?p3)?4y2p dy1dpdpp32?p)?0由2y?p?0得p?cy2即y?()2将即(p?4y)(2ydydycy代入
?c22px??2?c22p?4c p为参数
（*）x??2即方程的 含参数形式的通解为：?4c?y?(p)2?c?又由
p3?4y2?0得
p1?(4y2)3代入（*）得：
y?43x27也是方程的解
?0?y0?0x2?1?y0??xdx?023．解： xx2x2x5?2?y0??(x?)dx??04220xx4x10x7x2x5x11x8?3?y0??(x???)dx????04400202204400160x4． 线性方程x???x?0的特征方程?2?1?0故特征根???i
f1(t)?sint ??i是特征单根，原方程有特解x?t(Acost?Bsint)代入原方
程A=-
12 B=0
f2(t)??cos2t ??2i不是特征根，原方程有特解
x?Acos2t?Bsin2t代入原方程A? 所以原方程的解为x?c1cost1 B=0 311?c2sint?tcost?cos2t
235． 解：
p(?)???21?1??2?6??9?0解得?1,2?3此时 k=1n1?2
??41i??1?t3t?i???1?3t??1?t(??1??2)? ?????v ?(t)?e??(A?3E)????e????2?t(??1??2)???2??i?0i!???2?由公式expAt=
te?t?(A??E)i得
i?0i!n?1i??10???11??3t?1?tt? expAt?e3t?E?t(A?3E)??e3t???t?e????????t1?t???01???11???dx??x?y???x?y?1?0?dt6． 解：由?解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则?
?x?y?5?0?dy?x?y??dt?1?1因为=1+1 ?0故有唯一零解（0，0）
1?1由
??1?11??2?2??1?1??2?2??2?0得???1?i故（3，-2）为稳??1定焦点。 三．证明题
证明：1 若该方程为线性方程则有
dy?p(x)y?Q(x)（*）此方程有积分因子dx?p(x)dx?(x)?e? ?(x)只与x有关
2 若该方程有只与x有关的积分因子?(x)则 ?(x)dy??(x)f(x,y)dx?0为恰当方f)x?(y, ?dx?d)f)??(xx) ???y?(x)()程,从而
?(??x(?y??(x)???(x)f???dy?Q(x)?p(x)y?Q(x)其中p(x)?于是方程化为
?(x)?(x)dy?(p(x)y?Q(x))dx?0即方程为一阶线性方程.-