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实变函数论考试试题及答案
证明题：60分
??1、证明 limAn=n??n?1m?nAm。
???证明：设x?limAn，则?N，使一切n?N，x?An，所以x?n???????m?n?1?Am???Am,
n?1m?n则可知limAn???Am。设x???Am，则有n,使x??Am，所以
n??n?1m?nn?1m?n?m?nx?limAn。 因此，limAn=??Am。
n??n??n?1m?n?2、若E?Rn，对???0，存在开集G, 使得E?G且满足 m*(G?E)??， 证明E是可测集。
证明：对任何正整数n， 由条件存在开集Gn?E，使得m*?G?E??令G??Gn,则G是可测集，又因m*?G?E??m*?Gn?E??n?1?1。 n1， n对一切正整数n成立，因而m?(G?E)=0，即M?G?E是一零测度集，故可测。由E?G?(G?E)知E可测。证毕。
)几乎处处成立，n?1,2,3,?, 则3、设在E上fn(x)?f(x)，且fn(x)?fn?1(x有{fn(x)}a.e.收敛于f(x)。
证明 因为fn(x)?f(x)，则存在{fni}?{fn}，使fni(x)在E上a.e.收敛到f(x)。设E0是fni(x)不收敛到f(x)的点集。En?E[fn?fn?1]，则mE0?0,mEn?0。因
?此m(n?0En)??mEn?0。在E?n?0??n?1En上，fni(x)收敛到f(x)， 且fn(x)是单调
的。因此fn(x)收敛到f(x)（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。
?即除去一个零集
n?1En外，fn(x)收敛于f(x)，就是fn(x) a.e. 收敛到f(x)。
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4、设E?R1,f?x?是E上a.e.有限的可测函数。证明存在定义于R1上的一列 连续函数{gn(x)}，使得 limgn(x)?f(x) a.e. 于E。
n??证明： 因为f(x)在E上可测，由鲁津定理，对任何正整数n,存在E的可测子 集En，使得m?E?En??1，同时存在定义在R1上的连续函数gn(x)，使得当 nx?En时有gn(x)=f(x)。 所以对任意的??0，成立E[f?gn??]?E?En，
1f?g????mE?E?由此可得 mE?。 ??nn??n 因此 limmE[f?gn??]?0，即gn(x)?f(x)，由黎斯定理存在?gn?x??的
n??子列
?g?x??，使得
nkk?? limgnk(x)?f(x) a.e于E. 证毕 5、设mE??,?fn?为a.e有限可测函数列，证明： 的充要条件是fn(x)?0。
?fn?fn????E?f???证明：若fn(x)?0，由于E?,则?0。 n??1?fn?1?fn?又0?fn(x)?1，?n?1,2,3??,mE??,常函数1在E上可积分，由
1?fn(x)勒贝格控制收敛定理得limn??E?1?fn(x)fn(x)dx??0dx?0。
E反之，若?fn(x)1?fn(x)Edx?0（n??），而且
fn(x)1?fn(x)?0，对???0，
xy?令en?E?,当x??1时是严格增加函数， ?fn????,由于函数1?x?因此
1??men??fn(x)1?fn(x)endx??fn(x)1?fn(x)Edx?0。
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所以limnE?fn????0，即fn(x)?0
6、设mE??，a.e.有限的可测函数列fn(x)和gn(x)，n?1,2,3,?，分别依 测度收敛于f(x)和g(x)，证明 fn(x)?gn(x)?f(x)?g(x)。 证明：因为fn?x??gn?x??f?x??g?x??fn?x??f?x??gn?x??g?x? 于是???0，成立
E[|(fn?gn)?(f?g)|??]?E[|fn?f|?]E[|gn?g|?]，
22所以
即gn?fn?g?f 填空题：10分
????x,y?x?y?1?。求E在R内的E，E，E。
解：E????x,y?x?y?1?， E???x,y?x?y?1?， E???x,y?x?y?1?。
2、设E2?2222'2022222222222计算题：30分
4、试构造一个闭的疏朗的集合E?[0,1]，mE?1。 2571解：在[0,1]中去掉一个长度为的开区间(,)，接下来在剩下的两个闭区间
1212611分别对称挖掉长度为?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n次时，
6311一共去掉2n?1个各自长度为?n?1的开区间，剩下的2n个闭区间，如此重复
63下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为
112???66312n?1??n?1?63?1。 2所以最后所得集合的测度为mE?1?111?，即mE?。 222x2dx。 8、试求 ?(R)??12n(1?x)n?1?1