切平面的方程是
Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)
法线方程是
x?x0y?y0z?z0??.
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)z?(x,y)在点(x0,y0)
如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为
s? co??fx1?f?f2x2y??, cos1?fy1?f?f2x2y,
co?s?
2、多元函数微分学
多元函数极限：简单复习讲解 偏微分
1?f?f2x2y.
全微分：如果三元函数u??(x,y,z)可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du=第二次课 3、重积分 二重积分：
利用直角坐标计算二重积分
?u?u?udy＋dx+dz ?y?x?z我们用几何观点来讨论二重积分讨论中,我们假定
??f(x,y)d?D的计算问题。
f(x,y)?0；
x?b?1(x)?y??2(x)表示,
假定积分区域D可用不等式 a?其中?1(x), ?2(x)在[a,b]上连续。
据二重积分的几何意义可知,
??f(x,y)d?D的值等于以D为底,以曲面
z?f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。
在区间[a,b]上任意取定一个点x0,作平行于面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
yoz面的平面x?x0,这平
[?1(x0),?2(x0)]为底,曲线
z?f(x0,y)为曲边的曲边梯形,其面积为
?A(x0)?2(x0)?(x)10?f(x0,y)dy
一般地,过区间[a,b]上任一点x且平行于截面的面积为
yoz面的平面截曲顶柱体所得
A(x)??(x)2?(x)1?f(x,y)dy
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
?V??A(x)dx????f(x,y)dy?dx???aa?1(x)?
b从而有
b?2(x)???D??(x)?2??f(x,y)d?????f(x,y)dy?dxa??(x)??1? (1)
b上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,f(x,y)只看作
y的函数,对f(x,y)计算从?1(x)到?2(x)的定积分,然后把所得的结果( 它是
x的函数 )再对x从a到b计算定积分。
这个先对
y, 后对x的二次积分也常记作
b??f(x,y)d???dx?f(x,y)dyDa?2(x)?1(x)
重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于y轴(x轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)
区域的并集。
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二
次积分限的方法 -- 几何法。
??f(x,y)dxdyDx?rcos?y?rsin?dxdy?rdrd???f(rcos?,rsin?)rdrd?D极坐标：
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。 【情形一】积分区域D可表示成下述形式
??????1(?)?r??2(?)
其中函数?1(?), ?2(?)在[?,?]上连续。
则 D??f(rcos?,rsin?)rdrd???d??f(rcos?,rsin?)rdr??1(?)
??2(?)【情形二】积分区域D为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式?1(?)?0( 即极点在积分区域的边界上 )。
故 D??f(rcos?,rsin?)rdrd???d??f(rcos?,rsin?)rdr?0??(?)
【情形三】积分区域D为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D的内部 ),D可
1与D2,而 剖分成DD1:0????,0?r??(?)D2:????2?,0?r??(?)
故 D:0???2?,0?r??(?)
2?则 D??f(rcos?,rsin?)rdrd???d??f(rcos?,rsin?)rdr00?(?)
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D用极坐标变量r,?表示成如下形式
?????,?1(?)?r??2(?)
三重积分：???f?x,y,z?dxdydz
V直角坐标：若平面区域Dxy可以用不等式a?x?b,y1?x??y?y2?x?表示，则
????f?x,y,z?dV??dx?aby2?x?y1?x?dy?z2?x,y?z1?x,y?f?x,y,z?dz．
这个公式也将三重积分化为了三次积分．
柱坐标???f?x,y,z?dV????f?rcos?,rsin?,z?rdrd?dz
VV
?0?r????球坐标；?0???2?
?0??????x?rsin?cos???y?rsin?sin? ?z?rcos?????Vf?x,y,z?dV????f?rsin?cos?,rsin?sin?,rcos??r2sin?drd?d?
V
重积分的应用： 曲面面积；
A???
Dxy??z???z?1??????dxdy??x???y?22