第四章练习题（一）
一、填空题
1. 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，若向量组α1?kα2，α2?α3，α3?α4，α4?α1线性相关，则k? 。
2. 一个向量组含有两个或两个以上的最大无关组，则各个最大无关组所含向量个数必 。
3. 已知α1,α2,α3和β1,β2,β3是3维向量空间的两个基，若向量ξ在这两个基下的坐标分别为(x1,x2,x3)T和(y1,y2,y3)T，且x1?y1?y3，x2?y1?y2?y3， x3??y1?y2?2y3，则由基β1,β2,β3到基α1,α2,α3的过渡矩阵C? 。4. n维向量组α1,α2,?,αm(3?m?n)，而α1,α2,?,αm中任何一个向量都不能用其余向量线性表示，是该向量组线性无关的 条件。
?10312???5. 设A???130?11?，若齐次线性方程组Ax?0的基础解系含有3个解向量，则
?2172t???t? 。
?1?2?106. 已知A????15?1?1?二、选择题
1. 如果向量β能由向量组α1,α2,?,αm线性表示，则（ ）。
（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm （B）对β的线性表示不惟一
（C）向量组β,α1,α2,?,αm线性相关
（D）存在一组全为零的数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm 2. 向量组α1,α2,?,αm线性无关的充分条件是（ ）。 （A）α1,α2,?,αm均不为零向量
（B）α1,α2,?,αm中任意两个向量的分量不成比例
1??3?，若有3阶矩阵B和C，使AB?AC，B?C，则t? t?2??（C）α1,α2,?,αm中任意一个向量均不能由其余m?1个向量线性表示 （D）α1,α2,?,αm中有一部分向量线性无关
3. 设n阶方阵A的秩为r?n，则在A的n个行向量中（ ）。
（A）必有r个行向量线性无关 （B）任意r个行向量均可构成最大无关组
（C）任意r个行向量均线性无关 （D）任一行向量均能由其他r个行向量线性表示 4. 设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1能由α1,α2,α3线性表示，而向量β2不能由。 α1,α2,α3线性表示，则对于任意常数k，必有（ ）
（A）α1,α2,α3,kβ1?β2线性无关 （B）α1,α2,α3,kβ1?β2线性相关 （C）α1,α2,α3,β1?kβ2线性无关 （D）α1,α2,α3,β1?kβ2线性相关 5. 若向量组α,β,γ线性无关，向量组α,β,δ线性相关，则（ ）。 （A）α必能由β,γ,δ线性表示 （B）β必不能由α,γ,δ线性表示 （C）δ必能由α,β,γ线性表示 （D）δ必不能由α,β,γ线性表示
6. 已知n维向量组（Ⅰ）：α1,α2,?,αm和（Ⅱ）：β1,β2,?,βs的秩都等于r，那么下述命题不正确的是（ ）。
（A）若m?s，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价
（B）若向量组（Ⅰ）是向量组（Ⅱ）的部分组，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价 （C）若向量组（Ⅰ）能由向量组（Ⅱ）的部分组，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价 （D）若R(α1,α2,?,αm,β1,β2,?,βs)?r，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价 7. 若α1,α2,?,αm线性相关，且k1α1?k2α2???kmαm?0，则（ ）。 （A）k1?k2???km?0 （B）k1,k2,?,km全不为零 （C）k1,k2,?,km不全为零 （D）上述情况都有可能
8. 设向量组α1,α2,?,αr能由向量组β1,β2,?,βs线性表示，则（ ）。 （A）当r?s时，向量组α1,α2,?,αr必线性相关 （B）当r?s时，向量组α1,α2,?,αr必线性相关 （C）当r?s时，向量组β1,β2,?,βs必线性相关 （D）当r?s时，向量组β1,β2,?,βs必线性相关
9. 已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，α1,α2是其对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系，k1,k2是任意常数，则Ax?b的通解为（ ）。
11(β1?β2) （B）k1α1?k2(α1?α2)?(β1?β2) 2211（C）k1α1?k2(β1?β2)?(β1?β2) （D）k1α1?k2(β1?β2)?(β1?β2)
2210. 非齐次线性方程组Ax?b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，
（A）k1α1?k2(α1?α2)?则（ ）。
（A）r?m时，方程组Ax?b有解 （B）r?n时，方程组Ax?b有惟一解 （C）m?n时，方程组Ax?b有惟一解 （D）r?n时，方程组Ax?b有无穷多解 三、计算题 1.
已知α1?(1,0,2,3)T，α2?(1,1,3,5)T，α3?(1,?1,a?2,1)T，
α4?(1,2,4,a?8)T及β?(1,1,b?3,5)T，
（1）a,b为何值时，β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合？
（2）a,b为何值时，β有α1,α2,α3,α4的惟一线性表示式？并写出该表示式。 2. 已知3阶矩阵A与3维向量x，使得向量组x,Ax,Ax线性无关，且满足
2A3x?3Ax?2A2x，
2（1）记P?(x,Ax,Ax)，求3阶矩阵B，使A?PBP?1；
（2）计算行列式A?E。
3. 设向量组 α1?(1,1,1,3), α2?(?1,?3,5,1), α3?(3,2,?1,p?2)T,
TTα4?(?2,?6,10,p)T，
（1）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α?(4,1,6,10)用α1,α2,α3,α4 线性表示。
（2）p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求它的秩和一个最大无关组。 4. 已知两个向量组分别为
T?1??3??9??0??a??b?????????????α1??2?,α2??0?,α3??6?和β1??1?,β2??2?,β3??1?，
??3??1???7???1??1??0?????????????它们具有相同的秩，且β3能由α1,α2,α3线性表示，求a,b的值。
5. 已知3维向量组
?1??5??1???2?????????α1??1?,α2??3?,α3??3?,α4??3?,
?0??2???1???3?????????和3阶矩阵A，满足Aα1?α2，Aα2?α3，Aα3?α4，求Aα4。 6. 已知三阶矩阵B?O，且B的每个列向量都是下列方程组的解向量。
?x1?2x2?2x3?0,??2x1?x2??x3?0, ?3x?x?x?023?1（1）求?的值：（2）证明B?0。
7. 设α1?(1,1,2,3)，α2?(1,?1,1,1)，α3?(1,3,3,5)T，α4?(4,?2,5,6)，
TTTα5?(3,1,5,7)T
（1）证明α1,α5线性无关；
（2）求向量组的一个包含α1,α5的最大无关组。 8. 设线性方程组
?x1?a1x2?a12x32?x3?x1?a2x2?a2?2x?ax?ax31323?2??x1?a4x2?a4x3?a13,3?a2,3 ?a3,3?a4,（1）证明：若a1,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方程组无解；
（2）设a1?a3?k，a2?a4??k(k?0)，且已知β1?(?1,1,1)，β2?(1,1,?1)是该方程组的两个解，写出此方程组的通解。
四、证明题
1. 已知α1,α2,α3是3维向量空间V的一个基，又β1?α1?α2?α3，
TTβ2??α1?2α2?2α3，β3?3α1?4α2?3α3，
（1）证明β1,β2,β3也是V的一个基；
（2）求向量ξ?α1?α2?α3在基β1,β2,β3下的坐标。 2. 设向量组α1?(1,0,0,?1)T，α2?(0,1,0,?1)T，α3?(0,0,1,?1)T，
α4?(2,?1,3,0)T，证明α1,α2,α3是一个最大无关组，并将α4用最大无关组线性表示。3. 设A是n阶矩阵，α1,α2,?,αm(m?n)是n维列向量，且αm?0，如果Aα1?α2，
Aα2?α3，?,Aαm?1?αm，Aαm?0，证明向量组α1,α2,?,αm线性无关。
4. 设A为m?n矩阵，B为k?n矩阵，且R(A)?R(B)?n，证明齐次线性方程组Ax?0与Bx?0有非零公共解。
5. 设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵A的秩为r，η0,η1,η2,?,ηn?r是它的
n?r?1个线性无关的解，证明：η1?η0,η2?η0,?,ηn?r?η0是其对应的齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系。
6. 设A与B分别为m?n与n?s矩阵，C?AB，已知R(A)?n，R(B)?s，证明矩阵
C的列向量组线性无关。