例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
，所以
中的
满足
中x的取值范围为A，据此求
的
解：的定义域是［1，2］，是指从而函数f(x)的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数值域问题。 例2. 已知函数解：
的定义域是
的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知
，求函数的定义域。 中，由此可得
的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在
所以函数
的定义域是
的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知二、求值问题
的值域B，且
例3. 已知定义域为的值。 解：取
的函数f(x)，同时满足下列条件：①，得
；②，求f(3)，f(9)
因为又取
，所以
得
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题
例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，求函数解：令若立矛盾，故由于
，则
，必有
对任意
。
的值域。
，得
，即有
或，对任意
，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了
总成立，且存在，使得，
。
均成立，这与存在实数
，使得
成
均成立，因此，对任意，有
下面来证明，对任意设存在
，使得
，则
矛盾，因此，对任意
这与上面已证的
所以
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题
例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。
解：在中以代换其中x，得：
再在(1)中以
代换x，得
化简得：
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题
例6. 设f(x)定义于实数集上，当上为增函数。 证明：在若所以当而
时，
，令，即有
中取，则 ；当
时，
时，
，且对于任意实数x、y，有
，求证：
在R
，得，与
矛盾
所以又当所以对任意设所以
时，
，恒有
，则
所以在R上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7. 已知函数性。 解：取又取再取
得：
则
为偶函数。
得：
对任意不等于零的实数
，所以，所以，即
都有
，试判断函数f(x)的奇偶
因为为非零函数，所以七、对称性问题 例8. 已知函数
满足
，求中取
的值。
，所以函数
的图象关于点（0，2002）对
解：已知式即在对称关系式
称。根据原函数与其反函数的关系，知函数所以
将上式中的x用
代换，得
的图象关于点（2002，0）对称。
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数足
八、网络综合问题
，则函数
的图象关于点（a，b）成中心对称图形。
对一切实数x都满
例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有（1）判断f(x)的单调性； （2）设
， ，若
解：（1）在在因为当所以当而
时，时
中，令
中，令
，且当x>0时，0 ，试确定a的取值范围。 ，得 ，因为 ，所以 。 所以 又当x=0时，设所以所以 ，所以，综上可知，对于任意，则 ，均有 在R上为减函数。 。 （2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以即有又 ，根据函数的单调性，有 由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。 评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。