平面向量的坐标表示
题组1：基础再现
1.已知O是坐标原点，A(2,1),B(?4,0)，且AB?4BC?0，在向量OC? . 2.已知a＝(2，1），b＝(－3，4)，则3a－5b ＝_____ 3.已知向量a?(4,3),b?(6,x)，且a//b，求实数x= .
4.已知向量a?(?3,1),b?(1,?2)，若(?2a?b)?(ka?b)，则实数k= .
题组2：平面向量基本定理的应用
知识建构：
（1）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a =?1 e1+?2e2．
（2）一个平面向量可用一组基底e1，e2表示成a = ?1 e1+?2 e2的形式，我们称它为向量的一个分解，当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．
例1如图，已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等
分点，DC和OA交于E，设AB＝a，AO＝b． （1）用向量a和b表示向量OC，CD； B
（2）若OE＝?OA，求实数?的值． D A E
O C
例2已知OA＝a，OB＝b，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA，OB分别交于P，Q
两点． （1）求OG；
O
（2）若OP＝ma，OQ＝nb，求证：11
m+n＝3．
Q
P G A B
练习.设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点,AD?122AB,BE?3BC,若
DE??1AB??2AC (?1，?2为实数),则?1??2的值为__________.
题组3：平面向量的坐标表示及其坐标运算 知识建构：
平面向量的坐标的定义：对于向量a，当它的起点移至原点O时，其终点的坐标(x，y)称为向量a的（直角）坐标．记做a＝(x，y)．
平面向量的坐标运算：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，
a + b＝ ．a ? b＝ ；λa＝ ．
例4(1)已知O是坐标原点，点A在第一象限， |OA|=43，∠xOA=60°，求向量OA的坐标．
(2)已知a＝(2，1），b＝（－3，4），求a+ b，a－b，3a+4b的坐标．
(3)在平面直角坐标系中,已知向量AB= (2,1),向量AC= (3,5),则向量BC的坐标为____.
变．若向量a＝(x+3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求实数x的值．
题组4：向量平行与垂直的判断
例5（1）已知向量a?(?3,2),b?(?1,0),且向量?a?b与a?2b垂直,则实数?的值为________. （2）已知a＝(5，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝ .
例6
设e1,e2是两个互相垂直的单位向量,已知向量AB?3e1?2e2,CB?e1??e2,CDB??2e1?e2, (1)若A、B、D 三点共线,试求实数?的值.
(2)若A、B、D 三点构成一个直角三角形,试求实数?的值.
题组5：综合与创新
1．已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|ka+b|不超过5,则k的取值范围是________.
2．已知向量a?(cos?,sin?),向量b?(3,1),则2a?b的最大值为_______.
3．如图,在等腰三角形ABC中,已知AB?AC?1,A?120?,E,F分别是边AB,AC上的点,且
AE?mAB,AF?nAC,其中m,n?(0,1),若EF,BC的中点分别为M,N,且m?4n?1,则MN的最小值是_____.
A
E F
M B N
C
第3题图
4．已知向量OA?(?cos?,?sin?)(??0),OB?(?sin?,cos?),OC?(1,0),其中O为坐标
原点.
(1)若??2,???3,??(0,?),且OA?BC,求?;
(2)若AB?2OB对任意实数?,?都成立,求实数?的取值范围.
5．设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?)，
（1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值；
（2）求|b?c|的最大值; （3）若tan?tan??16，求证：a∥b.
6．（1）已知p，q，r是互异实数，三个点P(p，p3)，Q(q，q3)，R(r，r3)在同一直线上．
求证：p+q+r＝0．
（2）已知p，q，r是互异实数，求证：三个点P(p，p2)，Q(q，q2)，R(r，r2)不可能在同一直
线上．
第33课时 平面向量的坐标表示
题组1：基础再现
1.已知O是坐标原点，A(2,1),B(?4,0)，且AB?4BC?0，在向量OC? . 2.已知a＝(2，1），b＝(－3，4)，则3a－5b ＝_____ 3.已知向量a?(4,3),b?(6,x)，且a//b，求实数x= .
4.已知向量a?(?3,1),b?(1,?2)，若(?2a?b)?(ka?b)，则实数k= .
题组2：平面向量基本定理的应用 知识建构：
（1）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a =?1 e1+?2e2．
（2）一个平面向量可用一组基底e1，e2表示成a = ?1 e1+?2 e2的形式，我们称它为向量的一个分解，当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．
例1如图，已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等
分点，DC和OA交于E，设AB＝a，AO＝b．
（1）用向量a和b表示向量OC，CD； B
（2）若OE＝?OA，求实数?的值． D A 解：（1）OC＝－a－b；CD＝51
3a +3
b，
E
（2）设CE＝?CD，则
O C OC＝OE+EC=－? b－?(5151
3a +3b)=-3? a－(3?+?) b，
又OC＝－a－b，∴－514
3?＝－1且－(3?+? )＝－1，∴?＝5
总结：本题将OC用基向量a和b的两种不同结构表示，从而建立等量关系．
例2已知OA＝a，OB＝b，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA，OB分别交于P，Q
两点． （1）求OG；
O
（2）若OP＝ma，OQ＝nb，求证：11
m+n＝3．
Q
解：（1）OG＝1
3
(a＋b)；
P G （2）∵P，G，Q三点共线，PG，GQ共线， A B 设PG＝?GQ，则OG－OP＝?(OQ－OG)， 即(1+?)OG=OP+?OQ，又OG＝1
3(a＋b)，
∴1
3
(1+?)(a＋b)＝ma+ ?nb， ∴13(1+?)=m，且13
(1+?)＝?n，消去?，即得11
m+n＝3．
练习.设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点,AD?122AB,BE?3BC,若
DE??1AB??2AC (?1，?2为实数),则?1??2的值为__________.
【答案】解析:本题主要考察向量的加减法及待定系数法等基础知识.
DE?DB?BE?1212AB?3BC?2AB?23(AC?AB)??126AB?3AC??1AB??2AC
????1∴??1?6 ∴???112?
????2?223题组3：平面向量的坐标表示及其坐标运算
知识建构：
平面向量的坐标的定义：对于向量a，当它的起点移至原点O时，其终点的坐标(x，y)称为向量a的（直角）坐标．记做a＝(x，y)．
平面向量的坐标运算：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，
a + b＝ ．a ? b＝ ；λa＝ ．
例4(1)已知O是坐标原点，点A在第一象限， |OA|=43，∠xOA=60°，求向量OA的坐标．
(2)已知a＝(2，1），b＝（－3，4），求a+ b，a－b，3a+4b的坐标．
(3)在平面直角坐标系中,已知向量uurAB= (2,1),向量uuuACr= (3,5),则向量uuBCur的坐标为____.
变．若向量a＝(x+3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求实数x的值．（－1）
题组4：向量平行与垂直的判断
例5已知向量a?(?3,2),b?(?1,0),且向量?a?b与a?2b垂直,则实数?的值为________.
?1【答案】7
已知平面向量a=(1,2sinθ),b=(5cosθ,3).
(1)若a∥b,求sin2θ的值; (2)若a⊥b,求tan(θ+π
4
)的值.
【答案】解:(1)因为a∥b,所以1×3-2sinθ×5cosθ=0,
即5sin2θ-3=0,所以sin2θ=3
5
(2)因为a⊥b,所以1×5cosθ+2sinθ×3=0
所以tanθ=-5
6
所以tan(θ+π
tanθ＋tan
π
414)=1－tanθtanπ=11
4
例6
设ueruruuurururuurururuuururur1,e2是两个互相垂直的单位向量,已知向量AB?3e1?2e2,CB?e1??e2,CD??2e1?e2,
(1)若A、B、D 三点共线,试求实数?的值.
(2)若A、B、D 三点构成一个直角三角形uuBDur?CDuuur?CBuur?(?2uer,试求实数urur?的值ur.
urur【答案】解:(1)1?e2)-(e1??e2)=?3e1∵A、B、D 三点共线,∴uABuur??uBDuur?(1??)e2
即3uer?2uerurur?3??3?12=?[?3e1?(1??)e2]??2?????3
(2)uuuADr?uuABur?uuBCur?CDuuur?(3uerur??u(1r??ur)urur1?2e2)+(?e1+?e2)+(?2e1?e2=(??3)uer)
2
若?A?90o,则uuABur?uuuADr?2(??3)uer22?0????3
若?B?90o,则uuABur?uuBDur??9uer2ur271?2(??1)e2?0???若?D?90o,则uuBDur2
?uuuADr?(??1)(??3)uer22?0????3或???1
综上所述实数?的值为???3或???1或??72
题组5：综合与创新
6．已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|ka+b|不超过5,则k的取值范围是________.
【答案】[?6,2]
7．已知向量a?(cos?,sin?),向量b?(3,1),则2a?b的最大值为_______.
【答案】 4
8．如图,在等腰三角形ABC中,已知AB?AC?1,A?120?,E,F分别是边AB,AC上的点,且
AE?mAB,AF?nAC,其中m,n?(0,1),若EF,BC的中点分别为M,N,且m?4n?1,则MN的最小值是_____.
A
E F
M B N
C
第14题图
【答案】77 9．已知向量OA?(?cos?,?sin?)(??0),OB?(?sin?,cos?),OC?(1,0),其中O为坐标
原点.
(1)若??2,???3,??(0,?),且OA?BC,求?;
(2)若AB?2OB对任意实数?,?都成立,求实数?的取值范围.
【答案】
10．设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?)，
（1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值；
（2）求|b?c|的最大值; （3）若tan?tan??16，求证：a∥b.
【答案】【解析】由a与b?2c垂直，a?(b?2c)?a?b?2a?c?0，
即4sin(???)?8cos(???)?0，tan(???)?2；
b?c?(sin??cos?,4cos??4sin?)
|b?c|2?sin2??2sin?cos??cos2??16cos2??32cos?sin??16sin2?
?17?30sin?cos??17?15sin2?，最大值为32，所以|b?c|的最大值为42。
由
tan?tan??16得
sin?sin??16cos?cos???，即
4
?c?o?s?4?，
所以a∥b.