现行主流潮流计算综述
1引言
电力系统中的潮流是指电力系统中的电压与功率的稳态分布，也即通常所称的“潮流分布”。通过对电力系统潮流分布的分析和计算，可分析和评价电力系统运行的安全经济和优质，服务于电力系统的规划和运行。本文主要介绍现行的主流潮流计算方法及应用。
2基本的潮流计算
2.1常规潮流计算的数学模型
根据电路分析理论，电力系统等值成一个电路后，其中的电压电流之间的关系依解决的方法不同（如节点法、回路法），可以得到不同的线性关系式（如节点方程、回路方程等）。但电力系统分析计算是以功率代替电流进行计算的，进行这样的替代后，网络中的功率与电压之间的关系将是非线性的，一般不能用解析法求解而常用迭代法进行。 对n母线系统的节点方程进行展开得到：
Ii??YijUj(i?1,2,???,n) (1)
j?1n又 Ii?Pi?jQiUi (2)
其中Pi为节点注入有功功率，Pi?PGi?PDi；Qi为节点注入无功功率，Qi?QGi?QDi。
由上式两式可得
Pi?jQiUi??YijUj(i?1,2,???,n) (3)
j?1n此即为功率方程的一般形式，这是复数形式方程组。在实际计算时，又常常分解成实数方程组。以极坐标形式为例，
??Pi?Pic?Ui?Uj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)?0?j?1?? i?1,2,???,m n?Qi?Qic?Ui?Uj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)?0??j?1?作为潮流计算机解法的基础，按照计算方法的历史发展顺序介绍几种非线性方程组的迭
代解法。
n2.2高斯-赛德尔迭代法
设有n个联立非线性代数方程：
f1?x1,x2,???,xn??0??f2?x1,x2,???,xn??0??
???????fn?x1,x2,???,xn??0??将上式改写成如下形式：
x1?g1?x1,x2,???,xn???x2?g2?x1,x2,???,xn???
???????xn?gn?x1,x2,???,xn???高斯-赛德尔迭代法是在每一步迭代过程中，利用前面已求得的最新迭代值，直接代入
求解下一个变量的估计值，而不是等待一次迭代过程结束之后再利用之，经过??1次迭代后得到：
(?)(?)(?)?x1(??1)?g1?x1(?),x2,???,xn?1,xn??(??1)(??1)(?)(?)(?)x2?g2?x1,x2,???,xn?1,xn????
???????(??1)(??1)(??1)(?)?xn?gn?x1(??1),x2,???,xn,x?1n???(??1)?xi(?)??。 迭代收敛指标可取所有的变量都满足：xi其应用在潮流计算中便是以节点导纳矩阵为基础的高斯一赛德尔迭代法（也称为导纳
法）。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机内存量也比较小，适应当时的电子数字计算机制造水平和电力系统理论水平，但它的收敛性较差。
2.3牛顿-拉夫逊法
对非线性方程，牛顿法迭代过程如下：
f(x)?0, x?x(0)?Δx，泰勒展开可得到：
?(0)f(x(0))?Δx?f`(x(0))?(1)(0)(0)??x?x?Δx ?(k)?Δx(k)?f(x)?f`(x(k))?(k?1)?x(k)?Δx(k)??x迭代至Δx(k)??收敛。
对于PQ节点（i=1，2，···，m），给定量为节点注入功率，记为Pic、Qic，在极坐标形
式下，由式(3)可得：
??Pi?Pic?Ui?Uj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)?0?j?1?? i?1,2,???,m (4) n?Qi?Qic?Ui?Uj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)?0??j?1?式中，?ij??i??j，为节点i，j间的电压相角差。
对于PV节点（i=m+1，m+2，···，n-1），给定量为节点注入有功功率及电压幅值，记为
nPic、Uic，而Qic未知，故上式中?Qi方程失去作用，PV节点仅保留?Pi方程：
?Pi?Pic?Ui?Uj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)?0 i?m?1,m?2,???,n?1 (5)
j?1n对于平衡节点（i=n）不需参加迭代计算。
因此极坐标形式的功率方程仅由(2m)个PQ节点方程和(n-1-m)个PV节点方程，共m+n-1个方程组成。
将上述2(n-1)个方程按泰勒级数展开，略去高次项后，可得如下形式的修正方程：
?H11 H12 ??P1???P??H H 22?2??21???????P?n???Hn1 Hn2 ??Q??J J 12?1??11??Q2??J21 J22 ?????????Qn????Jn1 Jn2 N1n????1????? H2n N21 N22 N2n?2????????? H1n Nn1 N22 Nnn????n? (6)
J1n L11 L12 L1n???U1U1???? J2n L21 L22 L2n???U2U2??????? Jnn Ln1 Ln2 Lnn???UnUn???? H1n N11 N12 雅可比矩阵简写成如下形式：
?H N?J?? (7) ??J L ?雅可比矩阵的各元素如下：
Hij ??UiUj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)Nij? ?UiUj(Gijcos?ij?Bijsin?ij) Jij?UiUj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)??NijLij??UiUj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)?HijHij ??UiUj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)，
Nij? ?UiUj(Gijcos?ij?Bijsin?ij) Jij?UiUj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)??Nij
Lij??UiUj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)?Hij由式求出修正量??，?U后，按下式迭代：
??(1)???(0)????(0)? ?(1)???(0)? - ?(0)?UU?U??????(?)(?)??的收敛条件后停止，代回式中求得潮流分布结果。 满足??、?U牛顿法的突出优点是收敛速度快，若算法收敛，牛顿潮流法具有平方收敛特性，即迭代误差按平方的速率减小，一般迭代4~6次便可得到很精确的解，且迭代次数与电网规模的大小基本无关。牛顿法的缺点是每次迭代需要重新计算雅可比矩阵，计算量较大。
2.4快速解耦法
快速解耦潮流算法（又称作P-Q分解法）是在极坐标牛顿潮流法基础上发展起来的一种有功、无功解耦迭代算法。电力系统潮流计算中经常使用的方法之一。无论在内存占用量还是计算速度方面，它都比牛顿法有了较大的改进。
简化的依据是，首先高压电网中的输电线和变压器元件都具有其串联电阻R小于串联电抗X的特点，电力网络元件通过的有功潮流主要取决于元件两端电压的相角差，而其通过的无功潮流主要取决于元件两端电压模值的大小。
这个特性反映在牛顿法修正方程上，即雅克比矩阵中，N及J二雅可比子矩阵的元素的绝对值相对于H及L二个子矩阵元素的绝对值要小得多。简化的第一步，可以将N及J 二个雅可比子矩阵略去不计，即可表示为：
?P(k)?H(k)?θ(k)?Q(k)?L(k)?U(k)U(k)
此外，考虑到实际的电力网络中，一般元件两端的相角差相角小于10~20度，另外由于元件串联电阻小于串联电抗，使得cos?ij?1，Gij?Bij，则：Bijcos?ij雅可比矩阵中元素可简化为：
Gijsin?ij，因此
Hij ??UiUj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)?UiUjBijNij? ?UiUj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)?UiUjBij 更进一步地，根据[Ui(k)]2Bii，
Qis??Qi(k)，雅可比矩阵中其余元素可简化为：
Hii?Ui2BiiLii?UBii2i
根据上述简化，PQ解耦法中的PQ解耦后的修正方程可写为：
??P?B111/U1???P/U??B22????21??????????????Pn?1/Un?1??Bn?11B12B22???Bn?12??????B1n?1??U1??1??U???B2n?1???22? ????????????Bn?1n?1??Un?1??n?1???Q1/U1??B11??Q/U??B22????21?????????????Q/U?Bm1n?1??n?1B12???B1m???U1???U?B22???B2m???2? ????????????Bm2???Bmm???Um?其中系数矩阵元素就是节点导纳矩阵的虚部有关部分，是一个对称、稀疏的常数矩阵，在迭代过程中保持不变。
快速解耦法有以下特点： 一、用解两个维数分别为n-1和m的修正方程代替牛顿法的一个n+m-1维的修正方程，
计算内存需求几乎是牛顿法的60%；二，不同于牛顿法的每次迭代都要重新形成雅可比矩阵；三，收敛特性：由于和矩阵B`和B``在迭代中保持不变，在数学上属于“等斜率的伪牛顿”法，快速解耦法将从牛顿法的平方收敛特性退化为线性收敛特性。快速解耦法收敛所需的迭代次数要比牛顿法多，但由于每次迭代所需的时间远比牛顿法少，所以总的计算速度仍有大幅度的提高。
2.5直流潮流
上述潮流计算都属于精确的交流潮流计算，所采用的数学模型和得到的计算结果都是精确的，但其计算量较大、耗费的时间也比较多。在有些场合如系统规划设计时，原始数据本身就并不很精确而规划方案却很多;再如在实时安全分析中，要进行大量的预想事故筛选等。这些场合对计算速度的要求比对计算精确度的要求更高，因此就产生了采用近似模型的直流法潮流计算，其计算速度是所有潮流算法中最快的。
在可以不计支路的无功潮流后，一条交流网络中的支路就可以看成是一条直流支路，则功率方程为：
Pij??bij(?i??j)?Qij?0?i??jxij
直流潮流有着以下特点：（1）因为忽略了接地的并联支路，同时忽略了支路电阻，所以没有有功功率损耗，有功功率是无损的，所以平衡节点的有功功率可由其它节点注入功率唯一确定。（2）直流潮流的解算没有收敛性问题，而且对于超高压电网有r远小于x，直流潮流的计算精度通常误差在3％一10％，可以满足许多对精度要求不甚高的场合使用。（3）但这种方法不能计算电压幅值，限制了直流潮流的应用范围。
2.6保留非线性潮流算法
牛顿法求解非线性潮流方程时采用了逐次线性化的方法，20世纪70年代后期，人们开始研究这样的问题，即如果采用更加精确的数学模型，将泰勒级数的高阶项或非线性项也考虑进来，也许会进一步提高算法的收敛性能及计算速度，于是便产生了一类称之为保留非线性的潮流算法。一般保留到泰勒级数的前3项，即取到泰勒级数的二阶项，所以也称为二阶潮流算法。
实现这种想法的第一个尝试是在极坐标形式的牛顿法修正方程式中增加了泰勒级数的二阶项，所得到的算法对收敛性能略有改善，但计算速度元没有显著提高。后来，根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程组这一特点，提出了采用直角坐标形式的保留非线性的快速潮流算法，在速度上比牛顿法有较多的提高，引起了广泛的重视。
3其它特殊性质的潮流计算问题
3.1最优潮流
最优潮流，就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，所找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的某一个性能指标或目标函数达到最优时的潮流分布。
法国学者Carpentier于1962年首先提出了OPF模型，该模型以数学规划为基础，以电力系统的某些运行目标达到最优为目标函数，约束条件包括各种系统运行约束，而控制变量主要是发电机的出力。OPF是一个典型的非线性约束优化问题。OPF通过约束条件来保证电力系统的安全运行以及经济性，电力系统规划、运行以及能量管理中都广泛应用了 OPF问