相似模拟与模型试验在岩土工程中的应用
杨 钊
2000级土木工程专业岩土工程班
相似模拟与其它一样是社会生产发展的必然产物。由于社会生产的不断发展，岩土工程所提出的问题日益复杂和繁琐。用数学方法很难得到精确的解析解，只能作一些假设与简化再求解，因而带来一些误差。于是人们不得不通过实验的方法来探求那些靠数学方法无法研究的复杂现象的规律性。但是直接的实验的方法有很大的局限性，其实验的结果只能推广到与实验条件完全相同的实际问题中去，这种实验方法常常只能得出个别量的表面规律性关系，难以抓住现象的内在本质。《相似模拟》正是为解决这些问题而产生的，它不直接的研究自然现象或过程的本身，而是研究与这些自然现象或过程相似的模型，
它是理论与实际密切相结合的科学研究方法，是解决一些比较复杂的生产工程问题的一种有效方法。
一、相似模拟与模型试验的方要研究内容
它是研究自然界相似现象的一门科学。它提供了相似判断的方法。并用于指导模型试验， 整理试验结果，并把试验结果用于原型的理论基础。
二、相似常数
设c表示相似常数，x表示原型中的物理量，x? 表示模型中的物理量，则：
ci?xixi?
其中ci表示第i个物理量所对应的相似常数。
物理量包含于现象之中。而表示现象的物理量，一般都不是孤立的，互不关联的，而是 处在自然规律所决定的一定关系中，所以说各种相似常数之间也是相互关联的。在许多的情况下这种关联表现为数学方程的形式。下面举例说明：
设两个物体受力与运动相似
则它们的质点的运动方程和力学方程均可用同一方程描述，即： 原型的运动方程与物理方程
v?dsdt f?mdvdt ①
模型的运动方程与物理方程
v??ds?dt? f??m?dv?dt? ②
因为两个物体的现象相似，其对应物理量互成比例，即
ss?mm??cs
tt??ct
vv??ct
?cm
ff??cf ③
①，②，③联合得到
cvctcscfctcmcv?c?1 ④
?c?1 ⑤
由④，⑤可以说明，各相似常数不是任意选择的，它们之间是相互关联的。
三、相似三定理
1. 相似第一定理
相似第一定理是指出两个相似物体之间物理量的关系，具体可以归纳为二点。一、 相似现象可以用完全相同的方程组来表示。二、用来表征这些现象的一切物理量在空间相对应的各点在时间上相对应的各瞬间各自互成一定比例关系。
2. 相似第二定理
相似第二定理描述了物理体系中各个物理量之间的关系，相似准则之间的函数关系。
?关系式（准则方程）
f1(?1,?2,??,?n)?0
?关系式的性质
① 对于彼此相似的现象，?关系式相同。
② ?关系式中的?项在模型试验中有自变项与应变项之分。自变项是由单值条件的 物理量所组成的定性准则，应变项是包含非单值条件的物理量的非定性准则。
③ 若能做到原型与模型中的自变?项相等，由应变?项与自变?项之间的关系式可以得到应变?项，然后推广到原型中去，作为工程设计的各种参数。
3. 相似第三定理
相似第三定理是解决两个同类物理现象满足什么样的条件才能相似的问题。
第一条件：由于相似现象服从同一的自然规律，因此，可被完全相同的方程能所描述 第二条件：具有相同的文字方程式，其单值条件相似，并且从单值条件导出的相似准则 的数值相等。
所谓的单值条件是指从一群现象中，根据某一个现象的特性，把这个具体的现象从一群现象中区分出来的那些条件，单值条件中的物理量又称为单值量。单值条件包括几何条件、物理条件、边界条件和初始条件。
4. 相似三定理之间的关系
相似第一和第二定理是从现象已经相似这一基础上出发来考虑问题，第一定理说明了相似现象各物理量之间的关系，并以相似准则的形式表示出来。第二定理指出了各相似准则之间的关系，便于将一现象的实验结果推广到其它现象。相似第三定理直接同代表具体现象的单值条件相联系，并且强调了单值量相似，所以显于出了科学上的严密性，是构成现象相似的充要条件。是一切模型试验应遵守的理论指导原则。
但是在一些复杂的现象中，很难确定现象的单值条件，仅能借经验判断何为系统最主要的参量，或者虽然知道单值量，但是很难做到模型和原型由单值量组成的某些相似准则在数值上的一致，这使得相似第三定理真正的实行，并因而使模型试验结果带来近似的性质。
一、
同类相似与异类相似
同类相似是指相似的物体是同类物质，模型与原型的全部物理量相等，物理本质一致， 区别在于各物理量的大小比例不同。异类相似是指相似的物体不同类。仅因为对应量都遵循相同的方程式，具有数学上的相似性。
五、相似准则的导出方法
相似准则的导出方法有三种：定律分析法，方程分析法和因次分析法。从理论上说，三种方法可以得到同样的结果，只是用不同的方法对物理现象作数学上的描述。但是作为三种不同的方法，又有各自的适用条件。
1. 三种方法的介绍
定律分析：这种方法是建立在全部现象的物理定律已知的基础上的，通过剔除次要因素，从而推算出数量足够的，反映现象实质的?项。这种方法的缺点上：
1) 流于就事论事，看不出现象的变化过程和内在联系，故作为一种方法，缺乏典型意
义 2) 由于必须找出所有的物理定理，所以对于未能掌握其全部机理的，较为复杂的物理
现象，运用这种方法是不可能的，甚至无法找到近似解
3) 常常有一些物理定理，对于所讨论的问题表面上看去关系不密切，但又不宜于妄加
剔除，而必须通过实验找出各个定律间的制约关系，决定其重要因素，这实际问题
的解决带来不便。
优点：对于模型制作有指导性意义。
方程分析法：根据已知现象的微分或积分方程推出?项。此方法的的优点： 1) 结构严密，能反映出现象的本质，故可望得到问题的可靠性结论 2) 分析程序明确步骤易于检查
3) 各种成份的地位一览无遗，有利于推断，比较和校验
缺点：对现象的机理不清楚，没有建立方程的问题，无法解决
因次分析法：是根据正确选定参量，通过因次分析法考察各参量的因次，求出和?定理一致的函数关系式，并据此进行相似现象的推广。因次分析法的优点，对于一切机理尚未彻底弄清，规律也未充分掌握的现象来说，尤其明显。它能帮助人们快速地通过相似性实验核定所选参量的正确性，并在此基础上不断加深人们对现象机理和规律性的认识。
以上各种方法，日前应用最广泛的是因次分析法，但是也不排除将各种方法结合使用的可能性。
六、相似准则导出方法的解题步骤 1. 三种方法的解题步骤
1） 定律分析法的步骤
① 分析现象，抓住主要矛盾，排除次要因素 ② 写出主要矛盾的物理表达式
③ 作等效变化，转化为具有相同因次的物理量 ④ 两两作比值，求出相似准则? 2）方程分析法
通常的方程分析法有：相似转换法和积分类比法 相似转换法的步骤
① 写出现象的基本微分方程
② 写出全部的单值条件，并令其二现象相似 ③ 将微分方程按不同现象写出 ④ 进行相似转换 ⑤ 求出相似准则?
积分类比法的步骤
① 写出现象的基本微分方程和全部的单值条件 ② 用方程的任一项，除其它各项
③ 进行积分类比转换，求出相应的准则
3) 因次分析法
因次分析法一般分为两种：指数分析法和矩阵分析法。这两种方法的基本原理一样，运 算步骤稍有不同。指数分析法主要用于现象的物理量较少的情况，而矩阵分析法主要用于现象物理量较多的情况。
指数分析法
① 列出相似准则的表达式
② 根据方程两边因次相等列出物理量参数的方程K个 ③ 设物理量有M个，任选其中的M－K个物理量为已知量
④ 将这M－K个物理量，依次用M－K个单位向量代入方程，得到M－K组解 ⑤ 把这M－K组解代入相似准则的表达式中，可以得出M－K个独立的相似准则 矩阵分析法
矩阵分析法与指数分析法的基本原理一样，矩阵分析法把线性方程组的求解用矩阵的求 解来代替。其运算步骤不再此重复。
2. 证明指数分析法解出的独立?项的广泛代表意义
例设某现象由5个物理量A1，A2，A3，A4，A5组成，这5个基本物理的独立因次为L，M，N
物理量的表达式
Ai?LiMiT相似准则的表达式
xy???i
i?1,2,3,4,5
??A1A2A3A4A5因为?项为零，故有
zuv
对于L ?1X??2Y??3Z??4U??5V?0 对于M ?1X??2Y??3Z??4U??5V?0 对于T ?1X??2Y??3Z??4U??5V?0
固定U，V这两个参数，设U＝0，V＝1则可以得出一组解，设为X＝X1，Y＝Y1，Z＝Z1，但若设U＝0，V＝N则方程得出另一组解，设为X＝X2，Y＝Y2，Z＝Z2这两组解之间存在着如下关系，即：
X1?1NX2 Y1?1NY2 Z1?1NZ2
由上式可知，这个相似准则和前一个相似准则只差方次关系，又因为相似准则可以通过加、减、乘、除、幂运算等进行相互变换，故这两个相似准则实为同一个无因次量群。 设U＝1，V＝0则可以得出一组解，设为X＝X3，Y＝Y3，Z＝Z3，但若设U＝1，V＝1则方程得出另一组解，设为X＝X4，Y＝Y4，Z＝Z4
这两组解之间存在着如下关系，即：
X4?X1?X32Y1?Y32Z1?Z32 Y4? Z4?
故U＝1，V＝1的相似准则可以用U＝0，V＝1和U＝1，V＝0的相似准则表示，所以说U＝0，V＝1和U＝1，V＝0的相似准则可以表示U，V为任何实数的相似准则。
3. 三种方法解题
1）定律分析法
已知一个简支梁受有大小为4KN/M均布荷载，简支梁的跨度为4M，截面的高为0.5M，宽为0.4M，跨中截面的最大正应力为480KN/M2，求当梁的跨度为2M，截面尺寸相同受均布荷载为2KN/M时的跨中截面的最大正应力。
跨中弯矩的公式
M＝
ql82
最大正应力公式 ??6Mbh2
bh?62解：由最大正应力公式可以推出M?
又因为M?ql822
所以??qlbh?2
由???m得
ql2bh?2?qmlm22bmhm?m
又因为截面的尺寸相同所以可以简化为
ql2??qmlm2?m
所以?m?qmlmql22?=60KN/M2
2）方程分析法
以弹性力学中的极坐标的平面应力问题为例说明 1.写出现象的基本微分方程 1）静力学平衡方程
??????1?????????????????????2????f??0
1?????????f??02）几何方程